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Jetbrains全家桶1年46，售后保障稳定

第12节 EWMA估计日波动率

• 12.1 简介
• 12.2 EWMA估计波动率算法
• 12.3 算法Python代码实现
• 12.4 计算示例
• 12.5 参考资料

12.1 简介

EWMA模型

        考虑一市场变量，如股票，我们有其从第0天至第$N$天每天末的数据$S_0,S_1,...,S_N$。定义${\sigma }_n$ 为于第$n-1$天末所估计的市场变量在第$n$天的波动率，${\sigma }_n^2$为方差率。定义连续复利收益率$u_n=\ln \frac{S_n}{S_{n-1}}\approx \frac{S_n-S_{n-1}}{S_n}$。
        则在指数加权移动平均模型 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) 模型下，${\sigma }_n^2$的变化过程为：
$${\sigma }_n^2=\lambda {\sigma }_{n-1}^2+(1-\lambda )u_{n-1}^2,0<\lambda <1.$$
${\sigma }_n^2$也可以直接由$u_i^2$表示为：
$${\sigma }_n^2=(1-\lambda )\sum _{i=1}^m{\lambda }^{i-1}{u}_{n-i}^2+{\lambda }^m{\sigma }_{n-m}^2,1<m<n.$$
相对于${\sigma }_n^2$的简单估计${\sigma }_n^2=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{u}_{n-i}^2$，EWMA模型下，${\sigma }_n^2$中每个$u_i^2$的权重随时间距离的增加而指数衰减。这里的$m$都为一选定的截断距离。
        所以给定$S_0,S_1,...,S_N$，我们可以先由$u_n=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n}$计算出$u_1,u_2,...,u_N$，然后设初始日方差率${\sigma }_2^2=u_1^2$，由${\sigma }_n^2=\lambda {\sigma }_{i-1}^2+(1-\lambda )u_{i-1}^2$，计算出${\sigma }_2^2,{\sigma }_3^2,...,{\sigma }_{N+1}^2$。即为EWMA模型给出的每天方差率/波动率的估计结果。

最大似然估计确定最佳$\lambda$

       
在EWMA模型中只有一个自由未确定的变量$\lambda$，我们希望$\lambda$的选取可以使得 { σ i 2 } \{\sigma_i^2\} {
σi2​}的估计在某种定义下最优。这里我们假设每天的连续复利收益率$u_i$的数据抽样取值在给定当天隐含方差率为${{\sigma }_i^{\ast }}^2$的情况下服从正态分布，对应概率密度函数$f(u_i)=\frac{1}{{\sigma }_i^{\ast }\sqrt{2\pi }}\exp -\frac{u_i^2}{2{{\sigma }_i^{\ast }}^2}=\mathbb{P}(u_i|{\sigma }_i^{\ast })=p_i$。考虑我们选取一个具体的$\lambda$数值，由已知市场变量数据$S_0,S_1,...,S_N$，我们先用EWMA模型计算出${\sigma }_2(\lambda ),{\sigma }_3(\lambda ),...,{\sigma }_{N+1}(\lambda )$，然后假如这些波动率即为对应日期隐含波动率${\sigma }_i^{\ast }$，就可以计算出$p_2,p_3,...,p_N$。
记：
$$P(\lambda )=\prod _{i=2}^N{p}_i(\lambda )=\prod _{i=2}^N\mathbb{P}(u_i|{\sigma }_i(\lambda )).$$
        这里的$P(\lambda )$可以解释为，在每天的$u_i$服从独立正态分布的假设下，考虑EWMA模型时，当选取该$\lambda$和初始条件${\sigma }_2=u_1$后，市场变量的连续复利收益率的历史数据正好为$u_1,u_2,...,u_N$的概率，也可以记为$\mathbb{P}(u_1,...,u_N|\lambda )$。
        最大似然估计法的想法是选取使得该$P(\lambda )$达到极大值的$\lambda$作为模型的最优参数估计。即
$$\lambda =Arg\underset{\lambda }{\max }P(\lambda ).$$
其中Arg max是”return the arguments that maximize the function”，即指计算出可以使后面方程值达到最大的参数。具体表示为
$$\lambda =Arg\underset{\lambda }{\max }\prod _{i=2}^N\frac{1}{{\sigma }_i\sqrt{2\pi }}\exp -\frac{u_i^2}{2{\sigma }_i^2}.$$
等价于，
$$\lambda =Arg\underset{\lambda }{\min }\sum _{i=2}^N\left[\ln {\sigma }_i^2+\frac{u_i^2}{{\sigma }_i^2}\right].$$
并记$$\mathcal{L}(\lambda )=\sum _{i=2}^N\left[\ln {\sigma }_i^2+\frac{u_i^2}{{\sigma }_i^2}\right].$$
由于这里希望确定的参数只有一个，我们可以通过穷举法简单地求出其最优值。

12.2 EWMA估计波动率算法

1. 由已知数据$S_0,S_1,...,S_N$，按$u_i=\frac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}}$计算出$u_1,u_2,...,u_N$。
2. 在$[0,1]$区间内均匀地取$M$个点，作为$\lambda$的尝试取值，${\lambda }_i=\frac{i}{M}$。
3. 计算出每个${\lambda }_i$对应的$\mathcal{L}({\lambda }_i)$：
   1. 设${\sigma }_2^2=u_1^2$，由${\lambda }_i$和$u_1,u_2,...,u_N$，按照EWMA模型${\sigma }_n^2={\lambda }_i{\sigma }_{n-1}^2+(1-{\lambda }_i)u_{n-1}^2$计算出${\sigma }_2,{\sigma }_3,...,{\sigma }_N$。
   2. 由$\mathcal{L}({\lambda }_i)={\sum }_{j=2}^N(\ln {\sigma }_j^2+\frac{u_j^2}{{\sigma }_j^2})$计算出$\mathcal{L}({\lambda }_i)$。
4. $\lambda$的最优估计值即为最小的$\mathcal{L}({\lambda }_i)$所对应的${\lambda }_i$。

12.3 算法Python代码实现

import numpy as np

def EWMA(values, precision=1.e-3):
    # 由给定精确度确定划分格点数。
    M = int(1/precision)
    values = np.array(values)
    # 计算 {u_i}
    U = (values[1:]-values[:-1])/values[:-1]
    U_squared = U*U
    
    opt_lbd = None
    min_loss = float("inf")
    # 穷举找最优lambda
    for i in range(1, M):
        lbd = float(i)/M
        sigma_squared = U_squared[0]
        loss = 0
        for j in range(1, len(U_squared)):
            loss += np.log(sigma_squared)+U_squared[j]/sigma_squared
            sigma_squared = lbd * sigma_squared + (1-lbd)*U_squared[j]
        if loss < min_loss:
            min_loss = loss
            opt_lbd = lbd
    
    # 用最优lambda再计算出日方差率估计值。
    Vars = [0, U_squared[0]]
    for i in range(1, len(U_squared)):
        Vars.append(Vars[-1]*opt_lbd+(1-opt_lbd)*U_squared[i])
    
    return (Vars, opt_lbd)

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12.4 计算示例

        我们考虑John Hull网站上的示例数据（欧元/美元汇率），原数据地址为John Hull网站上的原始示例数据 。这里用的是简化后的，欧元/美元汇率(在github, 可下载)。

data = np.genfromtxt("EURUSDExchangerates.txt", skip_header=1, usecols=(1))
Vars, lbd = EWMA(data, precision=1.e-3)
print("EWMA最优lambda：", lbd)

EWMA最优lambda： 0.958

12.5 参考资料

1. 《期权、期货及其他衍生产品》，John C. Hull 著，王勇、索吾林译。