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梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree，GBDT）算法是近年来被提及比较多的一个算法，这主要得益于其算法的性能，以及该算法在各类数据挖掘以及机器学习比赛中的卓越表现，有很多人对GBDT算法进行了开源代码的开发，比较火的是陈天奇的XGBoost和微软的LightGBM。

1. 监督学习

1.1. 监督学习的主要任务

监督学习是机器学习算法中重要的一种，对于监督学习，假设有 $m$ 个训练样本：

$\left \{ \left ( X^{\left ( 1 \right )},y^{\left ( 1 \right )} \right ),\left ( X^{\left ( 2 \right )},y^{\left ( 2 \right )} \right ),\cdots ,\left ( X^{\left ( m \right )},y^{\left ( m \right )} \right ) \right \}$

其中， $X^{\left ( i \right )}=\left \{ x^{\left ( i \right )}_1,x^{\left ( i \right )}_2,\cdots ,x^{\left ( i \right )}_m \right \}$ 称为第 $i$ 个样本的特征， $y^{\left ( i \right )}$ 称为第 $i$ 个样本的标签，样本标签可以为离散值，如分类问题；也可以为连续值，如回归问题。在监督学习中，利用训练样本训练出模型，该模型能够实现从样本特征 $X^{\left ( i \right )}$ 到样本标签 $y^{\left ( i \right )}$ 的映射，即：

$X^{\left ( i \right )}\overset{F}{\rightarrow} y^{\left ( i \right )}$

为了能够对映射 $F\left ( X \right )$ 进行求解，通常对模型设置损失函数 $L\left ( y,F\left ( X \right ) \right )$ ，并求得在损失函数最小的情况下的映射为最好的映射：

$F^\ast =\underset{F\left ( X \right )}{argmin}\; L\left ( y,F\left ( X \right ) \right )$

对于一个具体的问题，如线性回归问题，其映射函数的形式为：

$F\left ( X;W \right )=WX=w_0+w_1x_1+w_2x_2+\cdots +w_nx_n$

此时对于最优映射函数 $F\left ( X;W \right )$ 的求解，实质是对映射函数中的参数 $W$ 的求解。对于参数的求解方法有很多，如梯度下降法。

1.2. 梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent，GD）算法是求解最优化问题最简单、最直接的方法。梯度下降法是一种迭代的优化算法，对于优化问题：

$min\; f\left ( w \right )$

其基本步骤为：

随机选择一个初始点 $w_0$
重复以下过程：
- 决定下降的方向： $d_i=-\frac{\partial }{\partial w}f\left ( w \right )\mid _{w_i}$
- 选择步长 $\rho$
- 更新： $w_{i+1}=w_i+\rho \cdot d_i$
直到满足终止条件

梯度下降法的具体过程如下图所示：

在这里插入图片描述

由以上的过程，我们可以看出，对于最终的最优解 $w^\ast$ ，是由初始值 $w_0$ 经过 $M$ 代的迭代之后得到的，在这里，设 $w_0=d_0$ ，则 $w^\ast$ 为：

$w^\ast =\sum_{i=0}^{M}\rho _i\cdot d_i$

1.3. 在函数空间的优化

以上是在指定的函数空间中对最优函数进行搜索，那么，能否直接在函数空间（function space）中查找到最优的函数呢？根据上述的梯度下降法的思路，对于模型的损失函数 $L\left ( y,F\left ( X \right ) \right )$ ，为了能够求解出最优的函数 $F^\ast\left ( X \right )$ ，首先，设置初始值为：

$F_0\left ( X \right )=f_0\left ( X \right )$

以函数 $F\left ( X \right )$ 作为一个整体，对于每一个样本 $X^{\left ( i\right )}$ ，都存在对应的函数值 $F\left ( X^{\left ( i\right )} \right )$ 。与梯度下降法的更新过程一致，假设经过 $M$ 代，得到最有的函数 $F^\ast\left ( X \right )$ 为：

$F^\ast\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{M}f_i\left ( X \right )$

其中， $f_i\left ( X \right )$ 为：

$f_i\left ( X \right )=-\rho _ig_m\left ( X \right )$

其中， $g_m\left ( X \right )=\left [ \frac{\partial L\left ( y,F\left ( X \right ) \right )}{\partial F\left ( X \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}$ 。

由上述的过程可以得到函数 $F\left ( X \right )$ 的更新过程：

$F_m\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{m}f_i\left ( X \right )$

与上面类似，函数 $f\left ( X \right )$ 是由参数 $\textbf{a}$ 决定的，即：

$f\left ( X \right )=-\rho \cdot h\left ( X;\textbf{a} \right )$

2. Boosting

2.1. 集成方法之Boosting

Boosting方法是集成学习中重要的一种方法，在集成学习方法中最主要的两种方法为Bagging和Boosting，在Bagging中，通过对训练样本重新采样的方法得到不同的训练样本集，在这些新的训练样本集上分别训练学习器，最终合并每一个学习器的结果，作为最终的学习结果，Bagging方法的具体过程如下图所示：

在Bagging方法中，最重要的算法为随机森林Random Forest算法。由以上的图中可以看出，在Bagging方法中， $b$ 个学习器之间彼此是相互独立的，这样的特点使得Bagging方法更容易并行。与Bagging方法不同，在Boosting算法中，学习器之间是存在先后顺序的，同时，每一个样本是有权重的，初始时，每一个样本的权重是相等的。首先，第 $1$ 个学习器对训练样本进行学习，当学习完成后，增大错误样本的权重，同时减小正确样本的权重，再利用第 $2$ 个学习器对其进行学习，依次进行下去，最终得到 $b$ 个学习器，最终，合并这 $b$ 个学习器的结果，同时，与Bagging中不同的是，每一个学习器的权重也是不一样的。Boosting方法的具体过程如下图所示：

在Boosting方法中，最重要的方法包括：AdaBoost和GBDT。

2.2. Gradient Boosting

由上图所示的Boosting方法中，最终的预测结果为 $b$ 个学习器结果的合并：

$f\left ( X \right )=\sum_{j=1}^{b}\theta _j\varphi _j\left ( X \right )$

这与上述的在函数空间中的优化类似：

$F_m\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{m}-\rho _i\cdot h\left ( X;\textbf{a}_i \right )$

根据如上的函数空间中的优化可知，每次对每一个样本的训练的值为：

$\bar{y}_i=\left [ \frac{\partial L\left ( y_i,F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}$

上建立模型，由于上述是一个求解梯度的过程，因此也称为基于梯度的Boost方法，其具体过程如下所示：

3. Gradient Boosting Decision Tree

在上面简单介绍了Gradient Boost框架，梯度提升决策树Gradient Boosting Decision Tree是Gradient Boost框架下使用较多的一种模型，在梯度提升决策树中，其基学习器是分类回归树CART，使用的是CART树中的回归树。

3.1. 分类回归树CART

分类回归树CART算法是一种基于二叉树的机器学习算法，其既能处理回归问题，又能处理分类为题，在梯度提升决策树GBDT算法中，使用到的是CART回归树算法，对于CART树算法的更多信息，可以参考简单易学的机器学习算法——分类回归树CART。

对于一个包含了 $m$ 个训练样本的回归问题，其训练样本为：

其中， $X^{\left ( i \right )}$ 为 $n$ 维向量，表示的是第 $i$ 个样本的特征， $y^{\left ( i \right )}$ 为样本的标签，在回归问题中，标签 $y^{\left ( i \right )}$ 为一系列连续的值。此时，利用训练样本训练一棵CART回归树：

开始时，CART树中只包含了根结点，所有样本都被划分在根结点上：

此时，计算该节点上的样本的方差（此处要乘以 $m$ ），方差表示的是数据的波动程度。那么，根节点的方差的 $m$ 倍为：

$s^2\cdot m=\left ( y^{\left ( 1 \right )}-\bar{y} \right )^2+\left ( y^{\left ( 2 \right )}-\bar{y} \right )^2+\cdots +\left ( y^{\left ( m \right )}-\bar{y} \right )^2$

其中， $\bar{y}$ 为标签的均值。此时，从 $n$ 维特征中选择第 $j$ 维特征，从 $m$ 个样本中选择一个样本的值： $x_j$ 作为划分的标准，当样本 $i$ 的第 $j$ 维特征小于等于 $x_j$ 时，将样本划分到左子树中，否则，划分到右子树中，通过以上的操作，划分到左子树中的样本个数为 $m_1$ ，划分到右子树的样本的个数为 $m_2=m-m_1$ ，其划分的结果如下图所示：

那么，什么样本的划分才是当前的最好划分呢？此时计算左右子树的方差之和： $s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2$ ：

$s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2=\sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y}_1 \right )^2+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( y^{\left ( j \right )}-\bar{y}_2 \right )^2$

其中， $\bar{y}_1$ 为左子树中节点标签的均值，同理， $\bar{y}_2$ 为右子树中节点标签的均值。选择其中 $s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2$ 最小的划分作为最终的划分，依次这样划分下去，直到得到最终的划分，划分的结果为：

注意：对于上述最优划分标准的选择，以上的计算过程可以进一步优化。

首先，对于 $s^2\cdot m$ ：

$\begin{align*} s^2\cdot m &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y} \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( \left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-2y^{\left ( i \right )}\cdot \bar{y}+\left ( \bar{y} \right )^2\right )\\ &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{2}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \end{align*}$

而对于 $s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2$ ：

$\begin{align*} s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2 &= \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y}_1 \right )^2+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( y^{\left ( j \right )}-\bar{y}_2 \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( \left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-2y^{\left ( i \right )}\cdot \bar{y}_1+\left ( \bar{y}_1 \right )^2\right )+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( \left ( y^{\left ( j \right )} \right )^2-2y^{\left ( j \right )}\cdot \bar{y}_2+\left ( \bar{y}_2 \right )^2 \right ) \end{align*}$

$\begin{align*} &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{2}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \\ &- \frac{2}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2+\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2 \end{align*}$

通过以上的过程，我们发现，划分前，记录节点的值为：

$\frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2$

当划分后，两个节点的值的和为：

$\frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2$

最好的划分，对应着两个节点的值的和的最大值。

3.2. GBDT——二分类

在梯度提升决策树GBDT中，通过定义不同的损失函数，可以完成不同的学习任务，二分类是机器学习中一类比较重要的分类算法，在二分类中，其损失函数为：

$L\left ( y,F \right )=log\left ( 1+exp\left ( -2yF \right ) \right ),\; y\in\left \{ -1,1 \right \}$

套用上面介绍的GB框架，得到下述的二分类GBDT的算法：

在构建每一棵CART回归树的过程中，对一个样本的预测值应与 $\tilde{y}$ 尽可能一致，对于 $\tilde{y}$ ，其计算过程为：

$\begin{align*} \tilde{y}^{\left (i \right )} &= -\left [ \frac{\partial L\left ( y^{\left ( i \right )},F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= -\left [ \frac{\partial log\left ( 1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= -\left [ \frac{1}{1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}\cdot exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )\cdot \left ( -2y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )} \end{align*}$

$\begin{align*} &=\frac{2y^{\left ( i \right )}\cdot exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= \frac{2y^{\left ( i \right )}}{1+exp\left ( 2y^{\left ( i \right )}F_{m-1}\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )} \end{align*}$

在 $\tilde{y}$ （通常有的地方称为残差，在这里，更准确的讲是梯度下降的方向）上构建CART回归树。最终将每一个训练样本划分到对应的叶子节点中，计算此时该叶子节点的预测值：

$\gamma _{jm}=\underset{\gamma }{argmin}\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}log\left ( 1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}\left ( F_{m-1}\left ( X^{\left ( i \right )} \right )+\gamma \right ) \right ) \right )$

由Newton-Raphson迭代公式可得：

$\gamma _{jm}=\frac{\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}\tilde{y}^{\left (i \right )}}{\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}\left | \tilde{y}^{\left (i \right )} \right |\left ( 2-\left | \tilde{y}^{\left (i \right )} \right | \right )}$

以参考文献3 Idiots’ Approach for Display Advertising Challenge中提供的代码为例：

GBDT训练的主要代码为：

void GBDT::fit(Problem const &Tr, Problem const &Va)
{ 

bias = calc_bias(Tr.Y); //用于初始化的F
std::vector<float> F_Tr(Tr.nr_instance, bias), F_Va(Va.nr_instance, bias);
Timer timer;
printf("iter time tr_loss va_loss\n");
// 开始训练每一棵CART树
for(uint32_t t = 0; t < trees.size(); ++t)
{ 

timer.tic();
std::vector<float> const &Y = Tr.Y;
std::vector<float> R(Tr.nr_instance), F1(Tr.nr_instance); // 记录残差和F
#pragma omp parallel for schedule(static)
for(uint32_t i = 0; i < Tr.nr_instance; ++i)
R[i] = static_cast<float>(Y[i]/(1+exp(Y[i]*F_Tr[i]))); //计算残差，或者称为梯度下降的方向
// 利用上面的残差值，在此函数中构造一棵树
trees[t].fit(Tr, R, F1); // 分类树的生成
double Tr_loss = 0;
// 用上面训练的结果更新F_Tr，并计算log_loss
#pragma omp parallel for schedule(static) reduction(+: Tr_loss)
for(uint32_t i = 0; i < Tr.nr_instance; ++i)
{ 

F_Tr[i] += F1[i];
Tr_loss += log(1+exp(-Y[i]*F_Tr[i]));
}
Tr_loss /= static_cast<double>(Tr.nr_instance);
// 用上面训练的结果预测测试集，打印log_loss
#pragma omp parallel for schedule(static)
for(uint32_t i = 0; i < Va.nr_instance; ++i)
{ 

std::vector<float> x = construct_instance(Va, i);
F_Va[i] += trees[t].predict(x.data()).second;
}
double Va_loss = 0;
#pragma omp parallel for schedule(static) reduction(+: Va_loss)
for(uint32_t i = 0; i < Va.nr_instance; ++i)
Va_loss += log(1+exp(-Va.Y[i]*F_Va[i]));
Va_loss /= static_cast<double>(Va.nr_instance);
printf("%4d %8.1f %10.5f %10.5f\n", t, timer.toc(), Tr_loss, Va_loss);
fflush(stdout);
}
}

CART回归树的训练代码为：

void CART::fit(Problem const &prob, std::vector<float> const &R, std::vector<float> &F1){ 

uint32_t const nr_field = prob.nr_field; // 特征的个数
uint32_t const nr_sparse_field = prob.nr_sparse_field;
uint32_t const nr_instance = prob.nr_instance; // 样本的个数
std::vector<Location> locations(nr_instance); // 样本信息
#pragma omp parallel for schedule(static)
for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
locations[i].r = R[i]; // 记录每一个样本的残差
for(uint32_t d = 0, offset = 1; d < max_depth; ++d, offset *= 2){ 
// d:深度
uint32_t const nr_leaf = static_cast<uint32_t>(pow(2, d)); // 叶子节点的个数
std::vector<Meta> metas0(nr_leaf); // 叶子节点的信息
for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i){ 

Location &location = locations[i]; //第i个样本的信息
if(location.shrinked)
continue;
Meta &meta = metas0[location.tnode_idx-offset]; //找到对应的叶子节点
meta.s += location.r; //残差之和
++meta.n;
}
std::vector<Defender> defenders(nr_leaf*nr_field); //记录每一个叶节点的每一维特征
std::vector<Defender> defenders_sparse(nr_leaf*nr_sparse_field);
// 针对每一个叶节点
for(uint32_t f = 0; f < nr_leaf; ++f){ 

Meta const &meta = metas0[f]; // 叶子节点
double const ese = meta.s*meta.s/static_cast<double>(meta.n); //该叶子节点的ese
for(uint32_t j = 0; j < nr_field; ++j)
defenders[f*nr_field+j].ese = ese;
for(uint32_t j = 0; j < nr_sparse_field; ++j)
defenders_sparse[f*nr_sparse_field+j].ese = ese;
}
std::vector<Defender> defenders_inv = defenders;
std::thread thread_f(scan, std::ref(prob), std::ref(locations),
std::ref(metas0), std::ref(defenders), offset, true);
std::thread thread_b(scan, std::ref(prob), std::ref(locations),
std::ref(metas0), std::ref(defenders_inv), offset, false);
scan_sparse(prob, locations, metas0, defenders_sparse, offset, true);
thread_f.join();
thread_b.join();
// 找出最佳的ese，scan里是每个字段的最佳ese，这里是所有字段的最佳ese，赋值给相应的tnode
for(uint32_t f = 0; f < nr_leaf; ++f){ 

// 对于每一个叶节点都找到最好的划分
Meta const &meta = metas0[f];
double best_ese = meta.s*meta.s/static_cast<double>(meta.n);
TreeNode &tnode = tnodes[f+offset];
for(uint32_t j = 0; j < nr_field; ++j){ 

Defender defender = defenders[f*nr_field+j];//每一个叶节点都对应着所有的特征
if(defender.ese > best_ese)
{ 

best_ese = defender.ese;
tnode.feature = j;
tnode.threshold = defender.threshold;
}
defender = defenders_inv[f*nr_field+j];
if(defender.ese > best_ese)
{ 

best_ese = defender.ese;
tnode.feature = j;
tnode.threshold = defender.threshold;
}
}
for(uint32_t j = 0; j < nr_sparse_field; ++j)
{ 

Defender defender = defenders_sparse[f*nr_sparse_field+j];
if(defender.ese > best_ese)
{ 

best_ese = defender.ese;
tnode.feature = nr_field + j;
tnode.threshold = defender.threshold;
}
}
}
// 把每个instance都分配给树里的一个叶节点下
#pragma omp parallel for schedule(static)
for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i){ 

Location &location = locations[i];
if(location.shrinked)
continue;
uint32_t &tnode_idx = location.tnode_idx;
TreeNode &tnode = tnodes[tnode_idx];
if(tnode.feature == -1){ 

location.shrinked = true;
}else if(static_cast<uint32_t>(tnode.feature) < nr_field){ 

if(prob.Z[tnode.feature][i].v < tnode.threshold)
tnode_idx = 2*tnode_idx; 
else
tnode_idx = 2*tnode_idx+1; 
}else{ 

uint32_t const target_feature = static_cast<uint32_t>(tnode.feature-nr_field);
bool is_one = false;
for(uint64_t p = prob.SJP[i]; p < prob.SJP[i+1]; ++p) 
{ 

if(prob.SJ[p] == target_feature)
{ 

is_one = true;
break;
}
}
if(!is_one)
tnode_idx = 2*tnode_idx; 
else
tnode_idx = 2*tnode_idx+1; 
}
}
}
// 用于计算gamma
std::vector<std::pair<double, double>> 
tmp(max_tnodes, std::make_pair(0, 0));
for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
{ 

float const r = locations[i].r;
uint32_t const tnode_idx = locations[i].tnode_idx;
tmp[tnode_idx].first += r;
tmp[tnode_idx].second += fabs(r)*(1-fabs(r));
}
for(uint32_t tnode_idx = 1; tnode_idx <= max_tnodes; ++tnode_idx)
{ 

double a, b;
std::tie(a, b) = tmp[tnode_idx];
tnodes[tnode_idx].gamma = (b <= 1e-12)? 0 : static_cast<float>(a/b);
}
#pragma omp parallel for schedule(static)
for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
F1[i] = tnodes[locations[i].tnode_idx].gamma;// 重新更新F1的值
}