学习率衰减之余弦退火(CosineAnnealing）

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

1 引言

当我们使用梯度下降算法来优化目标函数的时候，当越来越接近Loss值的全局最小值时，学习率应该变得更小来使得模型尽可能接近这一点，而余弦退火（Cosine annealing）可以通过余弦函数来降低学习率。余弦函数中随着x的增加余弦值首先缓慢下降，然后加速下降，再次缓慢下降。这种下降模式能和学习率配合，以一种十分有效的计算方式来产生很好的效果。
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在论文Stochastic Gradient Descent with Warm Restarts中介绍主要介绍了带重启的随机梯度下降算法（SGDR），其中就引入了余弦退火的学习率下降方式。
本文主要介绍余弦退火的原理以及实现。并且因为我们的目标优化函数可能是多峰的（如下图所示），除了全局最优解之外还有多个局部最优解，在训练时梯度下降算法可能陷入局部最小值，此时可以通过突然提高学习率，来“跳出”局部最小值并找到通向全局最小值的路径。这种方式称为带重启的随机梯度下降方法。
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2 余弦退火的原理

论文介绍最简单的热重启的方法。当执行完 $T_i$ 个epoch之后就会开始热重启（warm restart），而下标 $i$ 就是指的第几次restart，其中重启并不是重头开始，而是通过增加学习率来模拟，并且重启之后使用旧的 $x_t$ 作为初始解，这里的 $x_t$ 就是通过梯度下降求解loss函数的解，也就是神经网络中的权重，因为重启就是为了通过增大学习率来跳过局部最优，所以需要将 $x_t$ 置为旧值。
本文并不涉及重启部分的内容，所以只考虑在每一次run（包含重启就是restart）中，学习率是如何减小的。余弦退火（ cosine annealing ）的原理如下：
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表达式中的字符含义：

$\ i$ 就是第几次run(索引值)；
$n_{max}^i$ 和 $n_{min}^i$ 分别表示学习率的最大值和最小值，定义了学习率的范围。论文中提到在每次restart之后，减少 $n_{max}^i$ 和 $n_{min}^i$ 的值，但是为了简单，论文中也保持 $n_{max}^i$ 和 $n_{min}^i$ 在每次restart之后仍然保持不变。
$T_{cur}$ 则表示当前执行了多少个epoch，但是 $T_{cur}$ 是在每个batch运行之后就会更新，而此时一个epoch还没有执行完，所以 $T_{cur}$ 的值可以为小数。例如总样本为80，每个batch的大小是16，那么在一个epoch中就会循环5次读入batch，那么在第一个epoch中执行完第一个batch后， $T_{cur}$ 的值就更新为1/5=0.2，以此类推
$T_{i}$ 表示第i次run中总的epoch数。当涉及到重启时，论文中提到为了提高性能表现，开始会初始化一个比较小的 $T_{i}$ ，在每次restart后， $T_{i}$ 会以乘以一个 $T_{mult}$ 的方式增加，但是本文不涉及重启也就不需要考虑，即把 $T_{i}$ 固定为我们训练模型的epoch数。

3 keras实现

$T_{i}$
$T_{cur}$
为了简单，这里稍微修改一下 $T_{cur}$ 和 $T_{i}$ 的定义，原本表示的是epoch的数量，但是因为 $T_{cur}$ 是在每个batch之后都会更新，所以将T $T_{i}$ 定义为总的batch需要执行的步数，而 $T_{cur}$ 定义为当前对当前已经执行的batch的计数，即每执行一个batch， $T_{cur}$ 就加一。举个例子，样本总数为80，每个batch的大小为16，那么一共有5个batch，再令训练模型总的epoch为30，假设当前执行到第二个epoch的第二个batch结束，那么此时 $T_{cur}$ / $T_{i}$ = ( 1 ∗ 5 + 2 ) / ( 30 ∗ 5 ) 按照之前的定义 $T_{cur}$ / $T_{i}$ = ( 1 + 2 / 5 ) / 30 两者是等价的，但是因为之前的定义存在小数，如果1除以batch的总数除不尽，就会存在精度损失的情况。

为什么使用Warmup？
由于刚开始训练时，模型的权重(weights)是随机初始化的，此时若选择一个较
大的学习率，可能带来模型的不稳定（振荡），选择Warmup预热学习率的方
式，可以使得开始训练的几个epoch或者一些step内学习率较小，在预热的小学
习率下，模型可以慢慢趋于稳定，等模型相对稳定后在选择预先设置的学习率进
行训练，使得模型收敛速度变得更快，模型效果更佳。

keras通过继承Callback实现余弦退火。通过继承Callback，当我们训练的时候输入我们的该函数，就可以哎每个batch开始训练前以及结束后回调我们重写的on_batch_end和on_batch_begin函数。
完整代码（源自github）

import numpy as np
from tensorflow import keras
from keras import backend as K


def cosine_decay_with_warmup(global_step,
                             learning_rate_base,
                             total_steps,
                             warmup_learning_rate=0.0,
                             warmup_steps=0,
                             hold_base_rate_steps=0):
   """ 参数： global_step: 上面定义的Tcur，记录当前执行的步数。 learning_rate_base：预先设置的学习率，当warm_up阶段学习率增加到learning_rate_base，就开始学习率下降。 total_steps: 是总的训练的步数，等于epoch*sample_count/batch_size,(sample_count是样本总数，epoch是总的循环次数) warmup_learning_rate: 这是warm up阶段线性增长的初始值 warmup_steps: warm_up总的需要持续的步数 hold_base_rate_steps: 这是可选的参数，即当warm up阶段结束后保持学习率不变，知道hold_base_rate_steps结束后才开始学习率下降 """
    if total_steps < warmup_steps:
        raise ValueError('total_steps must be larger or equal to '
                         'warmup_steps.')
    #这里实现了余弦退火的原理，设置学习率的最小值为0，所以简化了表达式
    learning_rate = 0.5 * learning_rate_base * (1 + np.cos(np.pi *
        (global_step - warmup_steps - hold_base_rate_steps) / float(total_steps - warmup_steps - hold_base_rate_steps)))
    #如果hold_base_rate_steps大于0，表明在warm up结束后学习率在一定步数内保持不变
    if hold_base_rate_steps > 0:
        learning_rate = np.where(global_step > warmup_steps + hold_base_rate_steps,
                                 learning_rate, learning_rate_base)
    if warmup_steps > 0:
        if learning_rate_base < warmup_learning_rate:
            raise ValueError('learning_rate_base must be larger or equal to '
                             'warmup_learning_rate.')
        #线性增长的实现
        slope = (learning_rate_base - warmup_learning_rate) / warmup_steps
        warmup_rate = slope * global_step + warmup_learning_rate
        #只有当global_step 仍然处于warm up阶段才会使用线性增长的学习率warmup_rate，否则使用余弦退火的学习率learning_rate
        learning_rate = np.where(global_step < warmup_steps, warmup_rate,
                                 learning_rate)
    return np.where(global_step > total_steps, 0.0, learning_rate)


class WarmUpCosineDecayScheduler(keras.callbacks.Callback):
    """ 继承Callback，实现对学习率的调度 """
    def __init__(self,
                 learning_rate_base,
                 total_steps,
                 global_step_init=0,
                 warmup_learning_rate=0.0,
                 warmup_steps=0,
                 hold_base_rate_steps=0,
                 verbose=0):
        super(WarmUpCosineDecayScheduler, self).__init__()
        self.learning_rate_base = learning_rate_base
        self.total_steps = total_steps
        self.global_step = global_step_init
        self.warmup_learning_rate = warmup_learning_rate
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.hold_base_rate_steps = hold_base_rate_steps
        self.verbose = verbose
        #learning_rates用于记录每次更新后的学习率，方便图形化观察
        self.learning_rates = []
	#更新global_step，并记录当前学习率
    def on_batch_end(self, batch, logs=None):
        self.global_step = self.global_step + 1
        lr = K.get_value(self.model.optimizer.lr)
        self.learning_rates.append(lr)
	#更新学习率
    def on_batch_begin(self, batch, logs=None):
        lr = cosine_decay_with_warmup(global_step=self.global_step,
                                      learning_rate_base=self.learning_rate_base,
                                      total_steps=self.total_steps,
                                      warmup_learning_rate=self.warmup_learning_rate,
                                      warmup_steps=self.warmup_steps,
                                      hold_base_rate_steps=self.hold_base_rate_steps)
        K.set_value(self.model.optimizer.lr, lr)
        if self.verbose > 0:
            print('\nBatch %05d: setting learning '
                  'rate to %s.' % (self.global_step + 1, lr))

下面的代码构建了一个简单的模型，并使用warm up和余弦退火的方式来规划学习率。

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
# Create a model.
model = Sequential()
model.add(Dense(32, activation='relu', input_dim=100))
model.add(Dense(10, activation='softmax'))
model.compile(optimizer='rmsprop',
                loss='categorical_crossentropy',
                metrics=['accuracy'])

#样本总数
sample_count = 12608
# Total epochs to train.
epochs = 50
# Number of warmup epochs.
warmup_epoch = 10
# Training batch size, set small value here for demonstration purpose.
batch_size = 16
# Base learning rate after warmup.
learning_rate_base = 0.0001

total_steps = int(epochs * sample_count / batch_size)

# Compute the number of warmup batches.
warmup_steps = int(warmup_epoch * sample_count / batch_size)

# Generate dummy data.
data = np.random.random((sample_count, 100))
labels = np.random.randint(10, size=(sample_count, 1))

# Convert labels to categorical one-hot encoding.
one_hot_labels = keras.utils.to_categorical(labels, num_classes=10)

# Compute the number of warmup batches.
warmup_batches = warmup_epoch * sample_count / batch_size

# Create the Learning rate scheduler.
warm_up_lr = WarmUpCosineDecayScheduler(learning_rate_base=learning_rate_base,
                                            total_steps=total_steps,
                                            warmup_learning_rate=4e-06,
                                            warmup_steps=warmup_steps,
                                            hold_base_rate_steps=5,
                                            )

# Train the model, iterating on the data in batches of 32 samples
model.fit(data, one_hot_labels, epochs=epochs, batch_size=batch_size,
            verbose=0, callbacks=[warm_up_lr])

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(warm_up_lr.learning_rates)
plt.xlabel('Step', fontsize=20)
plt.ylabel('lr', fontsize=20)
plt.axis([0, total_steps, 0, learning_rate_base*1.1])
plt.xticks(np.arange(0, epochs, 1))
plt.grid()
plt.title('Cosine decay with warmup', fontsize=20)
plt.show()