1.2线性代数-行列式的性质

行列式的性质:性质1:;行列式转置值不变对行成立的性质,对列也成立性质二:两行互换(两列互换),行列式的值要变号证明思路:若D中的每一项都和D1中的每一项差一个负号,那么D=-D13214是1234经过一次顺序变换得来的(1和3变换位置),1234为偶,3214肯定是奇原因:2,7,12,13列标的排法没变,只是行标变了。原来是1-2-3-4行,现在变成了3-2-1-4推论:两行或者两列对应相等,行列式值等于0若第一行和第三行互换,那么根据…

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行列式的性质:

性质1:D^{T}=D;  行列式转置 值不变  

对行成立的性质,对列也成立

1.2线性代数-行列式的性质

 性质二:两行互换(两列互换),行列式的值要变号

1.2线性代数-行列式的性质

 证明思路:若D中的每一项都和D1中的每一项差一个负号,那么 D = – D1

3214是1234经过一次顺序变换得来的(1和3变换位置),1234为偶,3214肯定是奇

原因:2,7,12,13 列标的排法没变,只是行标变了。原来是1-2-3-4行,现在变成了3-2-1-4

推论:两行或者两列对应相等,行列式值等于0

D = \begin{vmatrix} 2 &3 &4 &5 \\ 1&0 &0 &0 \\ 2 & 3 & 4&5 \\ 8& 8 & 8 &8 \end{vmatrix}

若第一行和第三行互换,那么根据性质二,D = – D       = =>    2D = 0       ==>    D=0

性质四:某一行都乘以K,等于用K乘以这个行列式

    1.2线性代数-行列式的性质

推论:若某一行有公因子K,K可以提到外面去

那么行列式所有元素均有公因子K, K外提n次。(几阶行列式就提几次)

 1.2线性代数-行列式的性质

 性质五:两行(列)元素对应成比例,D = 0

1.2线性代数-行列式的性质

推论:某一行全为0,D = 0

 1.2线性代数-行列式的性质

解释:从定义出发,行列式计算需要从不同行不同列 去一个元素,那么每一项必须要从该行取一个元素,那么每一项均为0

小结:

行列式(Determinant)为0的情况:D=0

(1)两行对应成比例

(2)某一行全为0

(3)两行相等
那么,若D=0,必可知以上三个条件之一成立吗?错误!

\begin{vmatrix} 1& 2 &3 \\ 4& 5 & 6\\ 7&8 &9 \end{vmatrix}

以上行列式的值也是0,请参考性质7

性质六:是和的那一行分开,其余行保持不变

某一行是两数之和,把那一行分开,其余保持不变

1.2线性代数-行列式的性质

1.2线性代数-行列式的性质

 性质七:(最重要)某一行(列)乘以一个数,加到另一行(列)上去,行列式的值不变

(行列式某一行的所有元素乘以数K,加到另一行上去,行列式的值不变)

 1.2线性代数-行列式的性质

 其中最后一个行列式 第一行和第二行成比例,因此值为0.只剩下加号前面的那个行列式

 练习题:

1.计算行列式的值

想办法将行列式化为上三角行列式:即将左下方位置的数变成0,那么行列式的值只需要计算对朱角线元素的积

1.2线性代数-行列式的性质

例题主要使用了行列式的性质 去不停迭代,将左下角的元素变成0

1.2线性代数-行列式的性质

例题二:

方法一:                     1.2线性代数-行列式的性质         

缺点:沿用了上面的性质七,计算复杂

  方法二:                        1.2线性代数-行列式的性质

   先把第一行和第二行交换位置,用1去消除8  9 3,参考性质二

 解题规范:

1.2线性代数-行列式的性质

 

(1)先处理第一列,再第二列,再第三列

 (2)第一列处理完后,第一行不再参与后面的运算(只要第一行参与运算,第一个元素一定跟着就下来了,之前第一列的步骤就白做了)

1.2线性代数-行列式的性质

错误示范(下图):

1.2线性代数-行列式的性质   1.2线性代数-行列式的性质

同理,处理第三列,第二行不要参与运算

1.2线性代数-行列式的性质

错误示范(下图):

 1.2线性代数-行列式的性质

日常做题时标记方法(下图):

 1.2线性代数-行列式的性质

 

 

 

 

 

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