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量子搜索算法 Grover search

问题定义：

Problem：

f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}

找到 f(x)=1 的x

解法

经典解法：

经典解法很简单，就是把每一个都看一遍，如果只有一个x对应的f(x)=1，那么平均是要看一半，才能找到那个x。

时间复杂度O(N)

量子解法：

使用Grover search 算法，时间复杂度在 O(根号N)

Grover search 算法

Grover search 算法一共分为两步：

1. Phase Inversion
2. Inversion about the Mean

然后不断的迭代这两步我们就能够得到结果了。

首先我们先看看这两个步骤分别在做什么：

我们把 f(x)=1的 |x〉 称为 x∗ ，我们要找的也就是这个 x∗ 。

Phase Inversion:

这一步主要是把 x∗ 的概率幅翻转，变成负数，而其他的保持不变。

即，

Inversion about the Mean

用图可能更好表达这两个步骤究竟在做什么：

图1到图2，就是Phase Inversion，把x∗的概率幅翻转到了下面，图2中的虚线就是我的概率幅的平均值，图2到图3 就是我们的Inversion about the Mean，对着平均值翻转一次，其余x的概率幅是高于平均值的，所以 2μ−αx 让他们变小了，而我们的 x∗ 他的概率幅是个负数，所以 2μ−αx后他增加了。

不断的重复这个步骤， x∗ 他的概率幅会越来越大，最后我们测量的时候就会很容的找到他。

进行了 √N 后，他的概率幅就会达到 1/√2 ，算概率就是1/2。

那么接下来的问题就是，这些操作是怎么实现的？

Phase Inversion:

这个步骤要做的事情就是，

符号是和f(x)是否为1相关的，进一步化简就是 

有没有一丝熟悉感？

把f(x)的结果给放到相位上去，这是我们在Parity Problem中就遇到的问题。

当时的解决方法是把答案比特变成 |−〉。

一般情况，如果我们打算放置答案的比特是 |b〉，那么输入的比特就是|b⊕f(x)〉

最后一个比特的值如果在|+〉|−〉坐标下测量，一定是 |−〉，f(x)的差别也变到了符号上，即 (−1)f(x)

Inversion about the Mean

把 αx变成 2μ−αx，这个就要比前一个麻烦了

这其实是要求我把现在的态对着 μ 翻转。

对着 μ 翻转会吗？

不太会。

但是我会对着 |0〉 的翻转啊。

对角线第一个值为1，其余为-1，非对角线的都为0。

这个矩阵轻而易举的可以让 |0〉 保持不变，非 |0〉的符号全都翻转。

量子变换要求矩阵式酉矩阵，这个矩阵很明显满足 UU†=U†U=I

接下来怎么做呢？

我们先把我们的态整体来一个从 |μ〉 到 |0〉 的旋转，对着 |0〉 翻转后，又从 |0〉 到 |μ〉 翻转回去。

|μ〉 是一个怎样的态？

所有的x的概率都一样，也就是我们的superposition 

|x〉 和 |0〉之间的相互转换，这就是我们最最熟悉的Hadamard Transform了

第二部分的电路图如下：

这个矩阵是可以直接计算的：

我这里直接给出答案，得到的矩阵值呢是下图左边的这个矩阵：

在对应的 αx的结果恰好是 

而  恰好就是 2μ

至此，呈上最完整的电路图模块：

第一个H门是数据的初始化，第二个门是为了翻转 x∗，第三四五个门是为了对 |μ〉 翻转，二三四五这四个门就是要给重复的模块了，不断的重复他们就可以不断的提高 x∗的概率幅，最终找到 x∗。

参考资料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 11