量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门量子搜索算法Groversearch问题定义:Problem:f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}找到f(x)=1的x解法经典解法:经典解法很简单,就是把每一个都看一遍,如果只有一个x对应的f(x)=1,那么平均是要看一半,才能找到那个x。时间复杂度O(N)量子解法:使用Groversea…

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量子搜索算法 Grover search

问题定义:

Problem:

f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}f:{0,1,2,3,……,N−1}→{0,1}

找到 f(x)=1 的x

解法

经典解法:

经典解法很简单,就是把每一个都看一遍,如果只有一个x对应的f(x)=1,那么平均是要看一半,才能找到那个x。

时间复杂度O(N)

量子解法:

使用Grover search 算法,时间复杂度在 O(根号N)

Grover search 算法

Grover search 算法一共分为两步:

  1. Phase Inversion
  2. Inversion about the Mean

然后不断的迭代这两步我们就能够得到结果了。

首先我们先看看这两个步骤分别在做什么:

我们把 f(x)=1的 |x〉 称为 x∗ ,我们要找的也就是这个 x∗ 。

Phase Inversion:

这一步主要是把 x∗ 的概率幅翻转,变成负数,而其他的保持不变。

即,量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

Inversion about the Mean

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

用图可能更好表达这两个步骤究竟在做什么:

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

图1到图2,就是Phase Inversion,把x∗的概率幅翻转到了下面,图2中的虚线就是我的概率幅的平均值,图2到图3 就是我们的Inversion about the Mean,对着平均值翻转一次,其余x的概率幅是高于平均值的,所以 2μ−αx 让他们变小了,而我们的 x∗ 他的概率幅是个负数,所以 2μ−αx后他增加了。

不断的重复这个步骤, x∗ 他的概率幅会越来越大,最后我们测量的时候就会很容的找到他。

进行了 √N 后,他的概率幅就会达到 1/√2 ,算概率就是1/2。

那么接下来的问题就是,这些操作是怎么实现的?

Phase Inversion:

这个步骤要做的事情就是,

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

符号是和f(x)是否为1相关的,进一步化简就是 量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

有没有一丝熟悉感?

把f(x)的结果给放到相位上去,这是我们在Parity Problem中就遇到的问题。

当时的解决方法是把答案比特变成 |−〉。

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

一般情况,如果我们打算放置答案的比特是 |b〉,那么输入的比特就是|b⊕f(x)〉

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

最后一个比特的值如果在|+〉|−〉坐标下测量,一定是 |−〉,f(x)的差别也变到了符号上,即 (−1)f(x)

Inversion about the Mean

把 αx变成 2μ−αx,这个就要比前一个麻烦了

这其实是要求我把现在的态对着 μ 翻转。

对着 μ 翻转会吗?

不太会。

但是我会对着 |0〉 的翻转啊。

对角线第一个值为1,其余为-1,非对角线的都为0。

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

这个矩阵轻而易举的可以让 |0〉 保持不变,非 |0〉的符号全都翻转。

量子变换要求矩阵式酉矩阵,这个矩阵很明显满足 UU†=U†U=I

接下来怎么做呢?

我们先把我们的态整体来一个从 |μ〉 到 |0〉 的旋转,对着 |0〉 翻转后,又从 |0〉 到 |μ〉 翻转回去。

|μ〉 是一个怎样的态?

所有的x的概率都一样,也就是我们的superposition 量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门|x〉 和 |0〉之间的相互转换,这就是我们最最熟悉的Hadamard Transform了

第二部分的电路图如下:

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

这个矩阵是可以直接计算的:

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

我这里直接给出答案,得到的矩阵值呢是下图左边的这个矩阵:
量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

在对应的 αx的结果恰好是 量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

而 量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门 恰好就是 2μ

至此,呈上最完整的电路图模块:

量子搜索算法例题详解_量子算法与编程入门

第一个H门是数据的初始化,第二个门是为了翻转 x∗,第三四五个门是为了对 |μ〉 翻转,二三四五这四个门就是要给重复的模块了,不断的重复他们就可以不断的提高 x∗的概率幅,最终找到 x∗。

 

参考资料:

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 11

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