拉格朗日乘数法求得的是最值还是极值_微观经济拉格朗日方程求极值

全栈程序员-用户IM • 2022年11月1日上午9:16 • 未分类

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46，售后保障稳定

一、拉格朗日乘数法简介

在日常的生产生活中，当我们要要安排生产生活计划的时候，常常会在现实物理资源约束的条件下，计算得到收益最大或者损失最小的计划；像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值；拉格朗日乘数法是一种直接计算解决条件极值的方法；

拉格朗日乘数法的定义如下：

设有 $\varphi(x，y)$ 两个函数，并且两者都有一阶连续偏导数,则做拉格朗日函数为

$\lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x，y)$
令函数F的各个偏导数 $F_{x} = 0, F_{y} = 0, F_{λ} = 0$ ,计算各个偏导数并联立方程得到

$\left\{\begin{matrix} f_{x}(x,y) + \lambda \varphi_{x}(x,y)=0 \\ f_{y}(x,y) + \lambda \varphi_{y}(x,y)=0 \\ \varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right.$
由此方程组解出拉格朗日函数稳定点 $x_{0}，y_{0}，λ_{0})$ ,则 $x_{0}，y_{0})$ 就是函数 $f (x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的可能极值点;

二、拉格朗日乘数法的推导

目标函数

$\tag{1}$

约束条件

$\varphi(x，y) = 0 \tag{2}$
如果函数(1)在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 得到极值，那么首先会满足约束条件

$\varphi(x_{0}，y_{0}) = 0 \tag{3}$
设 $f (x, y)$ 与 $\varphi(x，y)$ 在点 $x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域内有连续偏导数，且满足

$\varphi_{y}(x_{0}，y_{0}) \ne 0$
由隐函数存在定理，式(2)在点 $(x_{0}, y_{0}) $ 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且具有连续导数的函数 $y = y (x)$ ，并且有 $y_{0}=f(x_{0})$ ,以及

$\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} \tag{4}$
将 $y = y (x)$ 带入公式(1)得到

$\tag{5}$
公式(5)也同公式(1)在 $(x_{0}, y_{0}) $ 处取的极值，有一元函数取得极值的必要条件可得

$\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=0 \tag{6}$
将公式(4)带入公式(6)得到

$f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0 \tag{7}$
为了解出 $(x_{0}, y_{0}) $ ，引入辅助变量

$\lambda_{0}=-\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}$

则公式(3)和公式(7)均成立等价于

$\left\{\begin{array}{l} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \end{array}\right. \tag{8}$
在 $\varphi(x，y)$ 给定的前提下，我们可以通过公式(8)计算得到 $(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0})$ ,我们可根据公式(8)的特点构造以下函数

$\lambda)=f(x, y)+\lambda \phi(x, y)$

可以看到公式(8)等价 $\lambda)$ 的以下偏导数

$\left\{\begin{array}{l} F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{\lambda}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \end{array}\right.$