数学分析 反常积分(第11章)

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一.反常积分的概念

相对于普通的定积分(称为正常积分),下面提出2类反常积分

1.无穷积分的提出:

2.瑕积分的提出:


二.无穷积分
1.定义:


2.性质
(1)无穷积分收敛的柯西准则:

定理11.1:${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛的充要条件是:对$\forall \epsilon >0,\exists G\ge a$,只要$u_1,u_2>G$,就有$$|{\int }_a^{u_2}f(x)dx-{\int }_a^{u_1}f(x)dx|=|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\epsilon$$

(2)线性运算的性质:

性质1:若${\int }_a^{+\infty }{f}_1(x)dx,{\int }_a^{+\infty }{f}_2(x)dx$均收敛,$k_1,k_2$为任意常数,则${\int }_a^{+\infty }[k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)]dx$也收敛,且$${\int }_a^{+\infty }[k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)]dx=k_1{\int }_a^{+\infty }{f}_1(x)+k_2{\int }_a^{+\infty }{f}_2(x)dx(1)$$

(3)积分区间的可加性:

性质2:若$f$在任何有限区间[a,u]上可积,则${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$与${\int }_b^{+\infty }f(x)dx$同敛态(即同时收敛或同时发散),且有$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{+\infty }f(x)dx(2)$$其中右边第1项是定积分

推论:${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛的另1个充要条件是:对$\forall \epsilon >0,\exists G\ge a$,当$u>G$时,总有$$|{\int }_a^{+\infty }f(x)dx|<\epsilon$$

(4)绝对收敛与条件收敛的关系:

绝对收敛与条件收敛的概念:

性质3:若$f$在任何有限区间[a,u]上可积,且有${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛,则${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$也收敛,且$$|{\int }_a^{+\infty }f(x)dx|\le {\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$$

3.非负函数无穷积分的敛散判别法
(1)非负函数的无穷积分的比较判别法:

定理11.2:设定义在$[a,+\infty )$上的2个非负函数$f,g$都在任何有限区间$[a,u]$上可积,且满足$f(x)\le g(x)(x\ge a)$,则当${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$收敛时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$必收敛(或当${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散时,${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$必发散)

(2)非负函数的无穷积分的比较判别法的极限形式:

推论1:若$f,g$都在任何有限区间$[a,u]$上可积,当$x\in [a,+\infty )$时,$f(x)\ge 0,g(x)>0$,且$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$,则有:
①当$0<c<+\infty$时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$与${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$同敛态
②当$c=0$时,由${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$收敛可推知${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$也收敛
③当$c=+\infty$时,由${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$发散可推知${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$也发散

(3)非负函数的无穷积分的柯西判别法:

特别地,如果选用${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设$f$定义在$[a,+\infty )(a>0)$上,且在任何有限区间$[a,u]$上可积,则有:
①当$0\le f(x)\le \frac{1}{x^p}(x\ge a)$且$p>1$时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛
②当$f(x)\ge \frac{1}{x^p}(x\ge a)$且$p\le 1$时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散

推论3:设$f$是定义在$[a,+\infty )$上的非负函数,且在任何有限区间$[a,u]$上可积,且$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\lambda$,则有:
①当$p>1,0\le \lambda <+\infty$时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛
②当$p\le 1,0<\lambda \le +\infty$时,${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散

4.一般无穷积分的敛散判别法
(1)无穷积分的狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):

定理11.3:若$F(u)={\int }_a^{u}f(x)dx$在$[a,+\infty ]$上有界,$g(x)$在$[a,+\infty ]$上当$x\to +\infty$时单调趋于0,则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$收敛

(2)无穷积分的阿贝尔判别法(Abel Discriminance):

定理11.4:若${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛,$g(x)$在$[a,+\infty )$上单调有界,则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$收敛

5.注意事项:

当$x\to +\infty$时被积函数即使不趋于0,甚至是无界的,无穷积分仍有可能收敛

不过,若$f(x)$在$[a,+\infty )$上单调,则$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$是${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛的必要条件

三.瑕积分
1.定义:


2.性质
(1)线性运算的性质:

性质1:设$f_1,f_2$的瑕点均为$a,k_1,k_2$为常数,则当瑕积分${\int }_a^b{f}_1(x)dx,{\int }_a^b{f}_2(x)dx$都收敛时,瑕积分${\int }_a^b[k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)]dx$必定收敛,并有$${\int }_a^b[k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)]dx=k_1{\int }_a^b{f}_1(x)+k_2{\int }_a^b{f}_2(x)dx(1)$$

(2)积分区间的可加性:

性质2:设$f$的瑕点为$x=a,c\in (a,b)$为任一常数,则瑕积分${\int }_a^{b}f(x)dx,{\int }_a^{c}f(x)dx$同敛态,并有$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx(2)$$其中${\int }_c^{b}f(x)dx$为定积分

(3)绝对收敛与条件收敛的关系:

性质3:设$f$的瑕点为$x=a,f$在$(a,b]$的任一内闭区间$[u,b]$上可积;则当${\int }_a^b|f(x)|dx$收敛时,${\int }_a^{b}f(x)dx$也必定收敛,并有$$|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx(3)$$

3.非负函数的瑕积分的敛散判别法
(1)瑕积分的比较判别法:

定理11.6:设定义在$(a,b]$上的2个函数$f,g$在任何$[u,b]\subset (a,b]$上均可积,且其瑕点均为$x=a$,且满足$0\le f(x)\le g(x)(a<x\le b)$,则当${\int }_a^{b}g(x)dx$收敛时,${\int }_a^{b}f(x)dx$必定收敛(或当${\int }_a^{b}f(x)dx$发散时,${\int }_a^{b}g(x)dx$必定发散)

(2)瑕积分的比较判别法的极限形式:

推论1:设定义在$(a,b]$上的2个函数$f,g$在任何$[u,b]\subset (a,b]$上均可积,且其瑕点均为$x=a$,且满足$f(x)\ge 0,g(x)>0$,且$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$,则有:
①当$0<c<+\infty$时,${\int }_a^{b}f(x)dx$与${\int }_a^{b}g(x)dx$同敛态
②当$c=0$时,由${\int }_a^{b}g(x)dx$收敛可推知${\int }_a^{b}f(x)dx$也收敛
③当$c=+\infty$时,由${\int }_a^{b}g(x)dx$发散可推知${\int }_a^{b}f(x)dx$也发散

(3)柯西判别法:

特别地,如果选用${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}$作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设$f$定义在$(a,b]$上,$a$为其瑕点,且在任何$[u,b]\subset (a,b]$上可积,则有:
①当$0\le f(x)\le \frac{1}{(x-a{)}^p}$且$0<p<1$时,${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛
②当$f(x)\ge \frac{1}{(x-a{)}^p}$且$p\ge 1$时,${\int }_a^{b}f(x)dx$发散

推论3:设$f$是定义在$(a,b]$上的非负函数,$a$为其瑕点,且在任何$[u,b]\subset (a,b]$上可积,如果$\underset{x\to a^{+}}{\lim }(x-a{)}^{p}f(x)=\lambda$,则有:
①当$0<p<1,0\le \lambda <+\infty$时,${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛
②当$p\ge 1,0<\lambda \le +\infty$时,${\int }_a^{b}f(x)dx$发散

4.一般函数的瑕积分的敛散判别法
(1)瑕积分收敛的充要条件:

定理11.5:瑕积分${\int }_a^{b}f(x)dx$(瑕点为$x=a$)收敛的充要条件是:对$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$,只要$u_1,u_2\in (a,a+\delta )$,总有$$|{\int }_{u_1}^{b}f(x)dx-{\int }_{u_2}^{b}f(x)dx|=|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\epsilon$$

(2)瑕积分的狄利克雷判别法:

定理11.7:设$a$为$f(x)$的瑕点,$F(u)={\int }_u^{b}f(x)dx$在$(a,b]$上有界,$g(x)$在$(a,b]$上单调且$\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0$,则瑕积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$收敛

(3)瑕积分的阿贝尔判别法:

定理11.8:设$a$为$f(x)$的瑕点,瑕积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛,$g(x)$在$(a,b]$上单调且有界,则瑕积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$收敛