数学分析反常积分(第11章)

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一.反常积分的概念
在这里插入图片描述

相对于普通的定积分(称为正常积分),下面提出2类反常积分

1.无穷积分的提出:

2.瑕积分的提出:

二.无穷积分
1.定义:

在这里插入图片描述
2.性质
(1)无穷积分收敛的柯西准则:

定理11.1: $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛的充要条件是:对 $\forall ε > 0, \exists G \geq a$ ,只要 $u_1,u_2>G$ ,就有 $|\int_a^{u_2}f(x)dx-\int_a^{u_1}f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<ε$

(2)线性运算的性质:

性质1:若 $\int_a^{+\infty}f_1(x)dx,\int_a^{+\infty}f_2(x)dx$ 均收敛, $k_1,k_2$ 为任意常数,则 $\int_a^{+\infty}[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx$ 也收敛,且 $\int_a^{+\infty}[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1\int_a^{+\infty}f_1(x)+k_2\int_a^{+\infty}f_2(x)dx\qquad(1)$

(3)积分区间的可加性:

性质2:若 $f$ 在任何有限区间[a,u]上可积,则 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 与 $\int_b^{+\infty}f(x)dx$ 同敛态(即同时收敛或同时发散),且有 $\int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^{+\infty}f(x)dx\qquad(2)$ 其中右边第1项是定积分

推论: $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛的另1个充要条件是:对 $\forall ε > 0, \exists G \geq a$ ,当 $u > G$ 时,总有 $|\int_a^{+\infty}f(x)dx|<ε$

(4)绝对收敛与条件收敛的关系:

绝对收敛与条件收敛的概念:

性质3:若 $f$ 在任何有限区间[a,u]上可积,且有 $\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$ 收敛,则 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 也收敛,且 $|\int_a^{+\infty}f(x)dx|≤\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$

3.非负函数无穷积分的敛散判别法
(1)非负函数的无穷积分的比较判别法:

定理11.2:设定义在 $[a,+\infty)$ 上的2个非负函数 $f, g$ 都在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积,且满足 $f(x)≤g(x)\,(x≥a)$ ,则当 $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 收敛时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 必收敛(或当 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 发散时, $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 必发散)

(2)非负函数的无穷积分的比较判别法的极限形式:

推论1:若 $f, g$ 都在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积,当 $x∈[a,+\infty)$ 时, $f (x) \geq 0, g (x) > 0$ ,且 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c$ ,则有:
①当 $0<c<+\infty$ 时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 与 $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 同敛态
②当 $c = 0$ 时,由 $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 收敛可推知 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 也收敛
③当 $c=+\infty$ 时,由 $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 发散可推知 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 也发散

(3)非负函数的无穷积分的柯西判别法:

特别地,如果选用 $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设 $f$ 定义在 $[a,+\infty)\,(a>0)$ 上,且在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积,则有:
①当 $0≤f(x)≤\frac{1}{x^p}\,(x≥a)$ 且 $p > 1$ 时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛
②当 $f(x)≥\frac{1}{x^p}\,(x≥a)$ 且 $p \leq 1$ 时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 发散

推论3:设 $f$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上的非负函数,且在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积,且 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^pf(x)=λ$ ,则有:
①当 $p>1,0≤λ<+\infty$ 时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛
②当 $p≤1,0<λ≤+\infty$ 时, $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 发散

4.一般无穷积分的敛散判别法
(1)无穷积分的狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):

定理11.3:若 $F(u)=\int_a^uf(x)dx$ 在 $[a,+\infty]$ 上有界, $g (x)$ 在 $[a,+\infty]$ 上当 $x→+\infty$ 时单调趋于0,则 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$ 收敛

(2)无穷积分的阿贝尔判别法(Abel Discriminance):

定理11.4:若 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛, $g (x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调有界,则 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$ 收敛

5.注意事项:

当 $x→+\infty$ 时被积函数即使不趋于0,甚至是无界的,无穷积分仍有可能收敛

不过,若 $f (x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调,则 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=0$ 是 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛的必要条件

三.瑕积分
1.定义:

在这里插入图片描述
2.性质
(1)线性运算的性质:

性质1:设 $f_1,f_2$ 的瑕点均为 $a,k_1,k_2$ 为常数,则当瑕积分 $\int_a^bf_1(x)dx,\int_a^bf_2(x)dx$ 都收敛时,瑕积分 $\int_a^b[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx$ 必定收敛,并有 $\int_a^b[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1\int_a^bf_1(x)+k_2\int_a^bf_2(x)dx\qquad(1)$

(2)积分区间的可加性:

性质2:设 $f$ 的瑕点为 $x = a, c \in (a, b)$ 为任一常数,则瑕积分 $\int_a^bf(x)dx,\int_a^cf(x)dx$ 同敛态,并有 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\qquad(2)$ 其中 $\int_c^bf(x)dx$ 为定积分

(3)绝对收敛与条件收敛的关系:
在这里插入图片描述

性质3:设 $f$ 的瑕点为 $x = a, f$ 在 $(a, b]$ 的任一内闭区间 $[u, b]$ 上可积;则当 $\int_a^b|f(x)|dx$ 收敛时, $\int_a^bf(x)dx$ 也必定收敛,并有 $|\int_a^bf(x)dx|≤\int_a^b|f(x)|dx\qquad(3)$

3.非负函数的瑕积分的敛散判别法
(1)瑕积分的比较判别法:

定理11.6:设定义在 $(a, b]$ 上的2个函数 $f, g$ 在任何 $[u,b]\sub(a,b]$ 上均可积,且其瑕点均为 $x = a$ ,且满足 $0≤f(x)≤g(x)\,(a<x≤b)$ ,则当 $\int_a^bg(x)dx$ 收敛时, $\int_a^bf(x)dx$ 必定收敛(或当 $\int_a^bf(x)dx$ 发散时, $\int_a^bg(x)dx$ 必定发散)

(2)瑕积分的比较判别法的极限形式:

推论1:设定义在 $(a, b]$ 上的2个函数 $f, g$ 在任何 $[u,b]\sub(a,b]$ 上均可积,且其瑕点均为 $x = a$ ,且满足 $f (x) \geq 0, g (x) > 0$ ,且 $\displaystyle\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=c$ ,则有:
①当 $0<c<+\infty$ 时, $\int_a^bf(x)dx$ 与 $\int_a^bg(x)dx$ 同敛态
②当 $c = 0$ 时,由 $\int_a^bg(x)dx$ 收敛可推知 $\int_a^bf(x)dx$ 也收敛
③当 $c=+\infty$ 时,由 $\int_a^bg(x)dx$ 发散可推知 $\int_a^bf(x)dx$ 也发散

(3)柯西判别法:

特别地,如果选用 $\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p}$ 作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设 $f$ 定义在 $(a, b]$ 上, $a$ 为其瑕点,且在任何 $[u,b]\sub(a,b]$ 上可积,则有:
①当 $0≤f(x)≤\frac{1}{(x-a)^p}$ 且 $0 < p < 1$ 时, $\int_a^bf(x)dx$ 收敛
②当 $f(x)≥\frac{1}{(x-a)^p}$ 且 $p \geq 1$ 时, $\int_a^bf(x)dx$ 发散

推论3:设 $f$ 是定义在 $(a, b]$ 上的非负函数, $a$ 为其瑕点,且在任何 $[u,b]\sub(a,b]$ 上可积,如果 $\displaystyle\lim_{x \to a^+}(x-a)^pf(x)=λ$ ,则有:
①当 $0<p<1,0≤λ<+\infty$ 时, $\int_a^bf(x)dx$ 收敛
②当 $p≥1,0<λ≤+\infty$ 时, $\int_a^bf(x)dx$ 发散

4.一般函数的瑕积分的敛散判别法
(1)瑕积分收敛的充要条件:

定理11.5:瑕积分 $\int_a^bf(x)dx$ (瑕点为 $x = a$ )收敛的充要条件是:对 $\forall ε > 0, \exists δ > 0$ ,只要 $u_1,u_2∈(a,a+δ)$ ,总有 $|\int_{u_1}^bf(x)dx-\int_{u_2}^bf(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<ε$

(2)瑕积分的狄利克雷判别法:

定理11.7:设 $a$ 为 $f (x)$ 的瑕点, $F(u)=\int_u^bf(x)dx$ 在 $(a, b]$ 上有界, $g (x)$ 在 $(a, b]$ 上单调且 $\displaystyle\lim_{x→a^+}g(x)=0$ ,则瑕积分 $\int_a^bf(x)g(x)dx$ 收敛