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三次样条插值
分段线性插值的优点
：
计算简单、
稳定性好、
收敛性有保证且易在计算机上实
现
缺点
：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光
滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次
Hermit
插值优点
：有较好的光滑性，
缺点
：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，
首先由于航空、
造船等工程设计的需要而发展起来所
谓样条
(Spline)
插值方法，
既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了
插值函数的光滑性。
今天，
样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，
在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：
给
定
区
间
]
,
[
b
a
上
的
个
节
点
b
x
x
x
a
n
1
0
和
这
些
点
上
的
函
数
值
)
,
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
f
i
i
若
)
(
x
S
满足：
(
1
)
)
,
,
2
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
S
i
i
；
(
2
)在每个小区间
]
,
[
b
a
上至多是一个三次多项式；
(
3
)
)
(
),
(
),
(
x
S
x
S
x
S
在
]
,
[
b
a
上连续。
则称
)
(
x
S
为函数
)
(
x
f
关于节点的
n
x
x
x
,
,
,
1
0
三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型
单靠一个函数表是不能完全构造出一个
三次样条插值函数。
我们分析一下其条件
个数，
条件
(
2
)
三次样条插值函数
)
(
x
S
是一个分段三次多项式，
若用
)
(
x
S
i
表
示它在第
i
个子区间
]
,
[
1
i
i
x
x
上的表达式，则
)
(
x
S
i
形如
]
,
[
,
)
(
1
3
3
2
2
1
0
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
a
x
a
x
a
a
x
S
其中有四个待定系数
)
3
,
2
,
1
,
0
(
j
a
ij
，子区间共有
n
个，所以
)
(
x
S
共有
n
4
个待
定系数。
由条件(
3
)
)
(
),
(
),
(
x
S
x
S
x
S
在
]
,
[
b
a
上连续，即它们在各个子区间上的连
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