多项分布和的分布_bernoulli多项式

把
二项分布公式再推广，就得到了多项分布（在一般概率书中很少介绍它，但是
热力学中涉及到它）。 二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。（严格定义见二项分布中伯努利实验定义）

把二项扩展为多项就得到了多项分布。比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔n次，如果问有x次都是点数6朝上的概率就是：C(n,x)*p6^x*(1-p6)^(n-x)

更一般性的问题会问：“点数1~6的出现次数分别为(x1,x2,x3,x4,x5,x6)时的概率是多少？其中sum(x1~x6）= n”。这就是一个多项式分布问题。这时只需用上边公式思想累乘约减就会得到下面图1的概率公式。

某随机实验如果有k个可能结局A1，A2，…，Ak，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，那么在N次采样的总结果中，A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

多项式分布的概率公式

这就是多项分布的概率公式。把它称为多项式分布显然是因为它是一种特殊的多项式展开式的
通项。

我们知道，在代数学里当k个变量的和的N次方的
展开式 (p1+ p2+…+ pk )^N 是一个多项式，其一般项就是前面的公式给出的值。如果这k个变量恰好是可能有的各种结局的出现概率，那么，由于这些概率的合计值对应一个必然事件的概率。而
必然事件的概率等于1，于是上面的多项式就变成了 (p1+ p2+…+ pk )^N =1^N=1, 即此时多项式的值等于1。

因为(p1+ p2+…+ pk )^N的值等于1, 我们也就认为它代表了一个必然事件进行了N 次
抽样的概率（=1，必然事件）。而当把这个多项式可以展开成很多项时，这些项的合计值等于1提示我们这些项是一些互不相容的事件（N次抽样得到的）的对应概率, 即多项式展开式的每一项都是一个特殊的事件的出现概率。于是我们把展开式的通项作为A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件的出现概率。这样就得到了前面的公式。

如果各个单独事件的出现概率p1，p2，…，pk都相等，即p1=p2=…=pk=p（注意这里是小写的p），注意到p1+p2+…+pk =1，就得到p1= p2 =…=pk =p=1/k。把这个值代入多项式的展开式，就使展开式的各个项的合计值满足下式：

 
 
 
 
 
 
 
∑[ N!/(n1!n2!…nk!)](1/k)^N=1

 
 
 
 
即 ∑[ N!/(n1!n2!…nk!)]=k^N

以上求和中遍及各个ni的一切可能取的正整数值，但是要求各个ni的合计值等于N。即 n1+n2+…nk=N.

用于处理一次实验有多个可能的结果的情况。

在
热力学讨论物质
微观状态的可能个数时，经常用另外的思路引出N!/(n1!n2!…nk!)式。并且称它为
热力学几率。它是一个比天文数字还大很多的数，把它称为几率（概率）并不妥当。但是热力学里由于各个微观状态的出现概率相等，这对应我们在前面讨论的p1= p2 =…=pk =p=1/k，于是 [N!/(n1!n2!…nk!)]（1/kN） 就真正具有数学上的概率的含义。换句话说，
物理学里的热力学几率[N!/(n1!n2!…nk!)]乘上（1/kN）以后就是数学中定义的（具有
归一性）的概率了