贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记

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《数学物理方法（顾樵）》第13章学习笔记

第一节 几个微分方程的引入

• 三维波动方程：
  $$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}=a^2(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial z^2})\equiv a^2{\nabla }^{2}v$$
• 三维热传导方程：
  $$\frac{\partial v}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial z^2})\equiv a^2{\nabla }^{2}v$$

对三维波动方程与三维热传导方程使用分离变量法，得到时间上的方程，以及空间上的名为亥姆霍兹方程的方程。

• 亥姆霍兹方程：
  $${\nabla }^{2}u(r\text{r}r)+k^{2}u(r\text{r}r)=0$$

将亥姆霍兹方程变换到球坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的球贝塞尔方程，以及以半径与 $z$ 轴夹角为自变量再经变量代换得到的连带勒让德方程。
球贝塞尔方程中设定特殊值，可以得到欧拉方程。
连带勒让德方程中设定特殊值，可以得到勒让德方程。

• 球贝塞尔方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+(k^2{r}^2-w^2)R=0$$
• 连带勒让德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+(w^2-\frac{m^2}{1-x^2})y=0$$
• 欧拉方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-w^{2}R=0$$
• 勒让德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+w^{2}y=0$$

将亥姆霍兹方程变换到柱坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的方程，进一步应用变量代换，得到贝塞尔方程。

• 贝塞尔方程：
  $$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-m^2)y=0$$

这些方程也可以直接通过施图姆-刘维尔型方程引入。
$$\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$$

所以对于这些函数的本征函数集，可以通过施图姆-刘维尔型方程的结论验证正交性。

第二节 伽马函数的基本知识

• 定义
  $$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{t}^{x-1}dt(x>0)$$
• 基本性质

当n比较大的时候，使用变量代换，可得到斯特林公式：
$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}$$

第三节 求解贝塞尔方程

使用 Frobenius方法 得到级数形式的解的系数的方程，进而得到第一类贝塞尔函数。
贝塞尔方程的通解有两种形式。
在讨论贝塞尔方程通解的第二种形式的时候，利用第一类贝塞尔方程构造得到第二类$v$阶贝塞尔函数（也称 诺依曼函数 ）。

• $v$阶第一类贝塞尔函数：
  $$J_v(x)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{m!\Gamma (m+v+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2m+v}$$
• 诺依曼函数
  $$Y_v(x)=\{\begin{array}{l}\frac{J_v(x)\cos v\pi -J_{-v}(x)}{\sin v\pi }v\notin \mathbb{Z}\\ \\ \underset{\alpha \to v}{\lim }\frac{J_{\alpha }(x)\cos \alpha \pi -J_{-\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }v\in \mathbb{Z}\end{array}$$

两个补充：
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{2}{\pi }(\ln \frac{x}{2}+\gamma )J_n(x)\\ & -\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-l-1)!}{k!}(\frac{x}{2}{)}^{2k-n}\\ & -\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k}{k!(n+k)!}[\Phi (k)+\Phi (n+k)](\frac{x}{2}{)}^{2k+n}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (x\sin \theta -n\theta )d\theta \\ & -\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }[e^{nt}+(-1{)}^n{e}^{-nt}]e^{-x\sinh t}dt\end{array}$$

其中：
$$\begin{array}{rl}\Phi (n)& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n},\Phi (0)=0\\ \gamma & =\underset{n\to \infty }{\lim }(\Phi (n)-\ln n)=0.577\end{array}$$

第四节 贝塞尔函数的基本性质

• 生成函数：该函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数。
  整数阶贝塞尔函数 $J_n(x)$ 的生成函数：
  $$\exp [\frac{x}{2}(r-\frac{1}{r})]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)r^n$$
• 性质

• 整数阶贝塞尔函数积分形式
  有两种方法得到其积分形式。
  一是根据生成函数在复数域上的解析函数，由其洛朗级数系数在特殊闭合回路上得到。
  二是由同样的解析函数出发，在某个特殊闭合回路上将函数展开，通过比较等号左右两边的形式，结合三角函数的正交性，再通过三角函数公式得到积分形式。
  $$J_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (x\sin \theta -n\theta )d\theta (n=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
• 整数阶贝塞尔函数渐进公式
  使用稳定相方法获取其渐进公式：
  $$J_n(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\pi }{4}-\frac{n\pi }{2})(n=0,1,2,...)$$

第五节 贝塞尔函数的正交完备性

1. 类比 正弦函数集 $S_m(x)=\sin (m\pi x)$，构建正交的贝塞尔函数集。
2. 结合参数形式的贝塞尔函数集 $J_v(\lambda x)$ 的性质，在区间 $[0,a]$ 上证明 正交性：
   $${\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)J_v({\lambda }_{vk}x)dx=0(m\ne k)$$
   并计算模值：
   $${\int }_0^{a}x{J}_v^2({\lambda }_{vm}x)dx=\frac{a^2}{2}{J}_{v+1}^2({\mu }_{vm})(m=1,2,...)$$
3. 完备性：
   $$f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{A}_m{J}_v({\lambda }_{vm}x)$$
   $$A_m=\frac{2}{[a{J}_{v+1}({\mu }_{vm}){]}^2}{\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)f(x)dx$$

贝塞尔级数在间断点处的收敛性由狄利克雷定理确定。