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《数学物理方法（顾樵）》第13章学习笔记
第一节 几个微分方程的引入
- 三维波动方程：
∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = a^2 (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) \equiv a^2 \nabla^2 v ∂t2∂2v=a2(∂x2∂2v+∂y2∂2v+∂z2∂2v)≡a2∇2v - 三维热传导方程：
∂ v ∂ t = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v \frac{\partial v}{\partial t} = a^2 (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) \equiv a^2 \nabla^2 v ∂t∂v=a2(∂x2∂2v+∂y2∂2v+∂z2∂2v)≡a2∇2v
对三维波动方程与三维热传导方程使用分离变量法，得到时间上的方程，以及空间上的名为亥姆霍兹方程的方程。
- 亥姆霍兹方程：
∇ 2 u ( r ) + k 2 u ( r ) = 0 \nabla^2 u(\pmb r) + k^2u(\pmb r) = 0 ∇2u(rrr)+k2u(rrr)=0
将亥姆霍兹方程变换到球坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的球贝塞尔方程，以及以半径与 z z z 轴夹角为自变量再经变量代换得到的连带勒让德方程。
球贝塞尔方程中设定特殊值，可以得到欧拉方程。
连带勒让德方程中设定特殊值，可以得到勒让德方程。
- 球贝塞尔方程：
d d r ( r 2 d R d r ) + ( k 2 r 2 − w 2 ) R = 0 \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr})+(k^2r^2-w^2)R = 0 drd(r2drdR)+(k2r2−w2)R=0 - 连带勒让德方程：
d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] + ( w 2 − m 2 1 − x 2 ) y = 0 \frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+(w^2-\frac{m^2}{1-x^2})y = 0 drd[(1−x2)dxdy]+(w2−1−x2m2)y=0 - 欧拉方程：
d d r ( r 2 d R d r ) − w 2 R = 0 \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr})-w^2R = 0 drd(r2drdR)−w2R=0 - 勒让德方程：
d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] + w 2 y = 0 \frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+w^2y = 0 drd[(1−x2)dxdy]+w2y=0
将亥姆霍兹方程变换到柱坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的方程，进一步应用变量代换，得到贝塞尔方程。
- 贝塞尔方程：
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − m 2 ) y = 0 x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 -m^2)y = 0 x2dx2d2y+xdxdy+(x2−m2)y=0
这些方程也可以直接通过施图姆-刘维尔型方程引入。
d d x [ k ( x ) d y d x ] − q ( x ) y + λ ρ ( x ) y = 0 \frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}]-q(x)y+\lambda \rho(x)y = 0 dxd[k(x)dxdy]−q(x)y+λρ(x)y=0所以对于这些函数的本征函数集，可以通过施图姆-刘维尔型方程的结论验证正交性。
第二节 伽马函数的基本知识
- 定义
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t t x − 1 d t ( x > 0 ) \Gamma(x)=\int ^\infty _0 e^{-t}t^{x-1}dt\ \ \ \ (x>0) Γ(x)=∫0∞e−ttx−1dt (x>0) - 基本性质
| 公式 | 公式 |
|---|---|
| Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1 | Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π |
| Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x) | Γ ( n + 1 ) = n ! ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) \Gamma(n+1)=n!\ \ \ \ (n=0,1,2,…) Γ(n+1)=n! (n=0,1,2,...) |
| Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n ) ! 2 2 n n ! π \Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi} Γ(n+21)=22nn!(2n)!π | Γ ( n + 1 2 + 1 ) = ( 2 n + 1 ) ! 2 2 n + 1 n ! π \Gamma(n+\frac{1}{2}+1)=\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}\sqrt{\pi} Γ(n+21+1)=22n+1n!(2n+1)!π |
当n比较大的时候，使用变量代换，可得到斯特林公式：
n ! ≈ 2 π n n n e − n n!\approx \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n} n!≈2πnnne−n
第三节 求解贝塞尔方程
使用 Frobenius方法 得到级数形式的解的系数的方程，进而得到第一类贝塞尔函数。
贝塞尔方程的通解有两种形式。
在讨论贝塞尔方程通解的第二种形式的时候，利用第一类贝塞尔方程构造得到第二类 v v v阶贝塞尔函数（也称 诺依曼函数 ）。
- v v v阶第一类贝塞尔函数：
J v ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + v + 1 ) ( x 2 ) 2 m + v J_v(x)=\sum^\infty _{m=0}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+v+1)}(\frac{x}{2})^{2m+v} Jv(x)=m=0∑∞m!Γ(m+v+1)(−1)m(2x)2m+v - 诺依曼函数
Y v ( x ) = { J v ( x ) cos v π − J − v ( x ) sin v π v ∉ Z lim α → v J α ( x ) cos α π − J − α ( x ) sin α π v ∈ Z Y_v(x)=\begin{dcases} \frac{J_v(x)\cos v\pi-J_{-v}(x)}{\sin v\pi}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v \notin \mathbb{Z} \\ \\ \lim_{\alpha \to v}\frac{J_\alpha(x)\cos \alpha\pi-J_{-\alpha}(x)}{\sin \alpha\pi}\ \ \ \ v \in \mathbb{Z}\\ \end{dcases} Yv(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧sinvπJv(x)cosvπ−J−v(x) v∈/Zα→vlimsinαπJα(x)cosαπ−J−α(x) v∈Z
两个补充：
Y n ( x ) = 2 π ( ln x 2 + γ ) J n ( x ) − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( n − l − 1 ) ! k ! ( x 2 ) 2 k − n − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k k ! ( n + k ) ! [ Φ ( k ) + Φ ( n + k ) ] ( x 2 ) 2 k + n \begin{aligned}Y_n(x)=&\frac{2}{\pi}(\ln\frac{x}{2}+\gamma)J_n(x)\\ &-\frac{1}{\pi}\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(n-l-1)!}{k!}(\frac{x}{2})^{2k-n}\\&-\frac{1}{\pi}\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}[\Phi(k)+\Phi(n+k)](\frac{x}{2})^{2k+n}\end{aligned} Yn(x)=π2(ln2x+γ)Jn(x)−π1k=0∑n−1k!(n−l−1)!(2x)2k−n−π1k=0∑n−1k!(n+k)!(−1)k[Φ(k)+Φ(n+k)](2x)2k+n
Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π sin ( x sin θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ [ e n t + ( − 1 ) n e − n t ] e − x sinh t d t \begin{aligned}Y_n(x)=&\frac{1}{\pi}\int ^{\pi} _{0} \sin (x\sin \theta-n\theta)d\theta \\ &-\frac{1}{\pi}\int ^{\infty} _{0}[e^{nt}+(-1)^n e^{-nt}]e^{-x\sinh t}dt\end{aligned} Yn(x)=π1∫0πsin(xsinθ−nθ)dθ−π1∫0∞[ent+(−1)ne−nt]e−xsinhtdt其中：
Φ ( n ) = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n , Φ ( 0 ) = 0 γ = lim n → ∞ ( Φ ( n ) − ln n ) = 0.577 \begin{aligned}\Phi(n)&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}, \ \ \ \ \Phi(0)=0\\ \gamma&=\lim _{n\to \infty} (\Phi(n)-\ln n)=0.577\end{aligned} Φ(n)γ=1+21+31+...+n1, Φ(0)=0=n→∞lim(Φ(n)−lnn)=0.577
第四节 贝塞尔函数的基本性质
- 生成函数：该函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数。
整数阶贝塞尔函数 J n ( x ) J_n(x) Jn(x) 的生成函数：
exp [ x 2 ( r − 1 r ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) r n \exp [\frac{x}{2}(r-\frac{1}{r})]=\sum^{\infty}_{n=-\infty}J_n(x)r^n exp[2x(r−r1)]=n=−∞∑∞Jn(x)rn - 性质
| 第一类贝塞尔函数 | 第二类贝塞尔函数 |
|---|---|
| d d x [ x v J v ( x ) ] = x v J v − 1 ( x ) \frac{d}{dx}[x^vJ_v(x)]=x^vJ_{v-1}(x) dxd[xvJv(x)]=xvJv−1(x) | d d x [ x v Y v ( x ) ] = x v Y v − 1 ( x ) \frac{d}{dx}[x^vY_v(x)]=x^vY_{v-1}(x) dxd[xvYv(x)]=xvYv−1(x) |
| d d x [ x − v J v ( x ) ] = − x − v J v + 1 ( x ) \frac{d}{dx}[x^{-v}J_v(x)]=-x^{-v}J_{v+1}(x) dxd[x−vJv(x)]=−x−vJv+1(x) | d d x [ x − v Y v ( x ) ] = − x − v Y v + 1 ( x ) \frac{d}{dx}[x^{-v}Y_v(x)]=-x^{-v}Y_{v+1}(x) dxd[x−vYv(x)]=−x−vYv+1(x) |
| J v ′ ( x ) = 1 2 [ J v − 1 ( x ) − J v + 1 ( x ) ] J’_v(x)=\frac{1}{2}[J_{v-1}(x)-J_{v+1}(x)] Jv′(x)=21[Jv−1(x)−Jv+1(x)] | J v ′ ( x ) = 1 2 [ J v − 1 ( x ) − J v + 1 ( x ) ] J’_v(x)=\frac{1}{2}[J_{v-1}(x)-J_{v+1}(x)] Jv′(x)=21[Jv−1(x)−Jv+1(x)] |
| J v − 1 ( x ) + J v + 1 ( x ) = 2 v x J v ( x ) J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}J_v(x) Jv−1(x)+Jv+1(x)=x2vJv(x) | Y v − 1 ( x ) + Y v + 1 ( x ) = 2 v x Y v ( x ) Y_{v-1}(x)+Y_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}Y_v(x) Yv−1(x)+Yv+1(x)=x2vYv(x) |
| x J v − 1 ( x ) = v J v ( x ) + x J v ′ ( x ) xJ_{v-1}(x)=vJ_v(x)+xJ’_v(x) xJv−1(x)=vJv(x)+xJv′(x) | x Y v − 1 ( x ) = v Y v ( x ) + x Y v ′ ( x ) xY_{v-1}(x)=vY_v(x)+xY’_v(x) xYv−1(x)=vYv(x)+xYv′(x) |
| x J v + 1 ( x ) = v J v ( x ) − x J v ′ ( x ) xJ_{v+1}(x)=vJ_v(x)-xJ’_v(x) xJv+1(x)=vJv(x)−xJv′(x) | x Y v + 1 ( x ) = v Y v ( x ) − x Y v ′ ( x ) xY_{v+1}(x)=vY_v(x)-xY’_v(x) xYv+1(x)=vYv(x)−xYv′(x) |
- 整数阶贝塞尔函数积分形式
有两种方法得到其积分形式。
一是根据生成函数在复数域上的解析函数，由其洛朗级数系数在特殊闭合回路上得到。
二是由同样的解析函数出发，在某个特殊闭合回路上将函数展开，通过比较等号左右两边的形式，结合三角函数的正交性，再通过三角函数公式得到积分形式。
J n = 1 π ∫ 0 π cos ( x sin θ − n θ ) d θ ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) J_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi _0 \cos (x\sin \theta-n\theta)d\theta\ \ \ \ (n=0,\pm1, \pm2,…) Jn=π1∫0πcos(xsinθ−nθ)dθ (n=0,±1,±2,...) - 整数阶贝塞尔函数渐进公式
使用稳定相方法获取其渐进公式：
J n ( x ) ≈ 2 π x cos ( x − π 4 − n π 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) J_n(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{\pi}{4}-\frac{n\pi}{2})\ \ \ \ (n=0,1,2,…) Jn(x)≈πx2cos(x−4π−2nπ) (n=0,1,2,...)
第五节 贝塞尔函数的正交完备性
- 类比 正弦函数集 S m ( x ) = sin ( m π x ) S_m(x)=\sin(m\pi x) Sm(x)=sin(mπx)，构建正交的贝塞尔函数集。
- 结合参数形式的贝塞尔函数集 J v ( λ x ) J_v(\lambda x) Jv(λx) 的性质，在区间 [ 0 , a ] [0,a] [0,a] 上证明 正交性：
∫ 0 a x J v ( λ v m x ) J v ( λ v k x ) d x = 0 ( m ≠ k ) \int_0^a xJ_v(\lambda_{vm}x)J_v(\lambda_{vk}x)dx=0\ \ \ \ (m\ne k) ∫0axJv(λvmx)Jv(λvkx)dx=0 (m=k)
并计算模值：
∫ 0 a x J v 2 ( λ v m x ) d x = a 2 2 J v + 1 2 ( μ v m ) ( m = 1 , 2 , . . . ) \int_0^a xJ^2_v(\lambda_{vm}x)dx=\frac{a^2}{2}J^2_{v+1}(\mu_{vm})\ \ \ \ (m=1,2,…) ∫0axJv2(λvmx)dx=2a2Jv+12(μvm) (m=1,2,...) - 完备性：
f ( x ) = ∑ m = 1 ∞ A m J v ( λ v m x ) f(x)=\sum^\infty _{m=1} A_mJ_v(\lambda_{vm}x) f(x)=m=1∑∞AmJv(λvmx)
A m = 2 [ a J v + 1 ( μ v m ) ] 2 ∫ 0 a x J v ( λ v m x ) f ( x ) d x A_m=\frac{2}{[aJ_{v+1}(\mu_{vm})]^2}\int^a_0 xJ_v(\lambda_{vm}x)f(x)dx Am=[aJv+1(μvm)]22∫0axJv(λvmx)f(x)dx
贝塞尔级数在间断点处的收敛性由狄利克雷定理确定。
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