第一讲 数域_域 数学

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46，售后保障稳定

1. 引入

数是数学的一个最基本概念, 回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:

(1) 代数性质: 关于数的加, 减, 乘 , 除等运算的性质称为数的代数性质.
(2) 数集: 数的集合简称数集.
常见的数集: 复试C; 实数R;有理数Q等等. 它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.

2. 数域的定义

设F是由一些复数组成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意两个数的和, 差, 积, 商(除数不为0)扔是F中的数, 则称F为一个数域.
从数域的定义可以看出一个数域要满足:

• 为复数的子集;
• 包含0和1;
• 对加减乘除运算封闭.

常见的数域: 复数域C, 实数域R, 有理数域Q. (自然数集合N和整数集合Z都不是数域.)
注意:
(1) 若数集F中任意两个数作某种运算的结果仍在F中, 则称数集F对这个运算时封闭的.
(2) 数域的等价定义: 如果一个包含0, 1在内的数集F对于加法, 减法, 乘法和除法(除数不能为0)都是封闭的, 则称数集F为一个数域.

那么除了有理数域Q, 实数域R和复数域C外, 还有其他的数域吗? 当然有!

例 1. 证明: 数集 Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q( \sqrt2)=\{a + b \sqrt2 | a, b \in Q\} Q(2
​)={
a+b2
​∣a,b∈Q}是一个数域.
证明:
(1) { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } ⊆ C \{a+b\sqrt2| a, b\in Q\} \subseteq C {
a+b2
​∣a,b∈Q}⊆C
(2) 因为 $0=0+0\sqrt{2},1=1+0\sqrt{2}$, 所以$0,1\in Q(\sqrt{2})$
(3) 设$a,b,c,d\in Q$, 则有
$x\pm y=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt{2}\in Q(\sqrt{2}),$
$x.y=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\in Q(\sqrt{2})$
设$a+b\sqrt{2}\ne 0$, 则有 $a-b\sqrt{2}\ne 0$

( 否则, 若$a-b\sqrt{2}=0$, 则 $a=b\sqrt{2}$,
\quad 于是有 $\frac{a}{b}=\sqrt{2}\in Q$
\quad 或 $a=0,b=0\Rightarrow a+b\sqrt{2}=0$ 皆矛盾)

$\frac{c+d\sqrt{2}}{a+b\sqrt{2}}=\frac{(c+d\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\in Q(\sqrt{2})$

所以, $Q(\sqrt{2})$为数域.
可以证明类似 { a + b p ∣ a , b ∈ Q } , p 为 素 数 \{a+b\sqrt p|a,b\in Q\}, p为素数 {
a+bp
​∣a,b∈Q},p为素数, 都为为数域, 所以数域有无穷多个.

例2: 设F是至少含两个数的数集, 证明: 若F中任意两个数的差与商(除数不为0)仍属于F, 则F为一个数域.

证明: 由题设任取 $a,b\in F$, 有
$0=a-a\in F,1=\frac{b}{b}\in F(b\ne 0)$,
$a-b\in F,\frac{a}{b}\in F(b\ne 0)$,
$a+b=a-(0-b)\in F$,
$b\ne 0时,ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}\in F,b=0时,ab=0\in F$,
所以, F是一个数域.

3. 数域的性质

性质1: 任意数域F都包括有理数域Q. 即, 有理数域为最小数域.
证明:
设F为任意一个数域. 由定义可知:
$0\in F,1\in F.$
于是有
$\forall m\in Z^{+},m=1+1+...+1\in F$
进而有
$\forall m,n\in Z^{+},\frac{m}{n}\in F$,
$-\frac{m}{n}=0-\frac{m}{n}\in F$.
而任意一个有理数可表示为两个整数的商, 所以
$Q\subseteq F$