第一讲 数域_域 数学

第一讲 数域_域 数学1.引入数是数学的一个最基本概念,回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:(1)代数性质:关于数的加,减,乘,除等运算的性质称为数的代数性质.(2)数集:数的集合简称数集.常见的数集:复试C;实数R;有理数Q等等.它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.2.数域的定义设F是由一些复数组成的集合,其中包括0和1,如果F中任意两个数的和,差,积,商(除数不为0)扔是F中的数,则称F为一个数域.从数域的定义可以看出一个数域要满足:为复数的子集;包含0

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1. 引入

数是数学的一个最基本概念, 回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:
在这里插入图片描述
(1) 代数性质: 关于数的加, 减, 乘 , 除等运算的性质称为数的代数性质.
(2) 数集: 数的集合简称数集.
常见的数集: 复试C; 实数R;有理数Q等等. 它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.

2. 数域的定义

F是由一些复数组成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意两个数的和, 差, 积, 商(除数不为0)扔是F中的数, 则称F为一个数域.
从数域的定义可以看出一个数域要满足:

  • 为复数的子集;
  • 包含0和1;
  • 对加减乘除运算封闭.

常见的数域: 复数域C, 实数域R, 有理数域Q. (自然数集合N和整数集合Z都不是数域.)
注意:
(1) 若数集F中任意两个数作某种运算的结果仍在F中, 则称数集F对这个运算时封闭的.
(2) 数域的等价定义: 如果一个包含0, 1在内的数集F对于加法, 减法, 乘法和除法(除数不能为0)都是封闭的, 则称数集F为一个数域.

那么除了有理数域Q, 实数域R和复数域C外, 还有其他的数域吗? 当然有!

例 1. 证明: 数集 Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q( \sqrt2)=\{a + b \sqrt2 | a, b \in Q\} Q(2
)=
{
a+
b2
a,b
Q}
是一个数域.
证明:
(1) { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } ⊆ C \{a+b\sqrt2| a, b\in Q\} \subseteq C {
a+
b2
a,b
Q}C

(2) 因为 0 = 0 + 0 2 , 1 = 1 + 0 2 0=0 +0\sqrt2, 1= 1+0\sqrt2 0=0+02
,1=
1+02
, 所以 0 , 1 ∈ Q ( 2 ) 0, 1 \in Q(\sqrt2) 0,1Q(2
)

(3) 设 a , b , c , d ∈ Q a, b, c, d\in Q a,b,c,dQ, 则有
x ± y = ( a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q ( 2 ) , x\pm y = (a\pm c) + (b\pm d)\sqrt2 \in Q(\sqrt2), x±y=(a±c)+(b±d)2
Q(2
),

x . y = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2 ∈ Q ( 2 ) x.y =(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt2 \in Q(\sqrt2) x.y=(ac+2bd)+(ad+bc)2
Q(2
)

a + b 2 ≠ 0 a+b\sqrt2 \ne 0 a+b2
=
0
, 则有 a − b 2 ≠ 0 a-b\sqrt2 \ne 0 ab2
=
0

( 否则, 若 a − b 2 = 0 a-b\sqrt2 =0 ab2
=
0
, 则 a = b 2 a=b\sqrt2 a=b2
,
\quad 于是有 a b = 2 ∈ Q \frac{a}{b} =\sqrt2 \in Q ba=2
Q

\quad a = 0 , b = 0 ⇒ a + b 2 = 0 a=0, b=0\Rightarrow a+b\sqrt2=0 a=0,b=0a+b2
=
0
皆矛盾)

c + d 2 a + b 2 = ( c + d 2 ) ( a − b 2 ) ( a + b 2 ) ( a − b 2 ) = a c − 2 b d a 2 − 2 b 2 + a d − b c a 2 − 2 b 2 2 ∈ Q ( 2 ) \frac{c+d\sqrt2}{a+b\sqrt2}=\frac{(c+d\sqrt2)(a-b\sqrt2)}{(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt2\in Q(\sqrt2) a+b2
c+d2
=
(a+b2
)(ab2
)
(c+d2
)(ab2
)
=
a22b2ac2bd+a22b2adbc2
Q(2
)

所以, Q ( 2 ) Q(\sqrt2) Q(2
)
为数域.
可以证明类似 { a + b p ∣ a , b ∈ Q } , p 为 素 数 \{a+b\sqrt p|a,b\in Q\}, p为素数 {
a+
bp
a,b
Q},p
, 都为为数域, 所以数域有无穷多个.

例2: 设F是至少含两个数的数集, 证明: 若F中任意两个数的差与商(除数不为0)仍属于F, 则F为一个数域.

证明: 由题设任取 a , b ∈ F a, b \in F a,bF, 有
0 = a − a ∈ F , 1 = b b ∈ F ( b ≠ 0 ) 0=a-a\in F, 1=\frac{b}{b}\in F(b\ne 0) 0=aaF,1=bbF(b=0),
a − b ∈ F , a b ∈ F ( b ≠ 0 ) a-b\in F, \frac{a}{b}\in F(b\ne 0) abF,baF(b=0),
a + b = a − ( 0 − b ) ∈ F a+b = a-(0-b)\in F a+b=a(0b)F,
b ≠ 0 时 , a b = a 1 b ∈ F , b = 0 时 , a b = 0 ∈ F b \ne 0时, ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}\in F, b=0时, ab=0\in F b=0,ab=b1aF,b=0,ab=0F,
所以, F是一个数域.

3. 数域的性质

性质1: 任意数域F都包括有理数域Q. 即, 有理数域为最小数域.
证明:
F为任意一个数域. 由定义可知:
0 ∈ F , 1 ∈ F . \quad 0\in F, 1\in F. 0F,1F.
于是有
∀ m ∈ Z + , m = 1 + 1 + . . . + 1 ∈ F \forall m \in Z^+, m = 1+1+…+1\in F mZ+,m=1+1+...+1F
进而有
∀ m , n ∈ Z + , m n ∈ F \quad \forall m, n\in Z^+, \frac{m}{n}\in F m,nZ+,nmF,
− m n = 0 − m n ∈ F \quad -\frac{m}{n}=0-\frac{m}{n}\in F nm=0nmF.
而任意一个有理数可表示为两个整数的商, 所以
Q ⊆ F Q\subseteq F QF

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