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2019和平区数学一模24题解析
推理与论证是在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中,发展合情推理,进一步学习有条理的思考与表达;数学推理的内涵是从数和形的角度进行合情推理和演绎推理,是对归纳类比的发展,判断和证明的过程。
和平区数学一模试卷24题第(1)问在正方形中利用全等证明线段相等,考察几何问题的推理论证,推理探究。思考的角度不同,方法各异,但殊途同归,考察学生的逻辑推理论证,书写表达能力。
在积累了一定的活动经验与图形性质的基础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关性质后,第(2)问充分展示数学问题中的从特殊到一般,求解特殊位置面积问题,考察数形结合的思想,方程思想,函数思想。
在体会证明的必要性,理解证明的基本过程后,第(3)问难度大,对复杂综合问题进行探究解决。考察了对称思想,模型思想,计算能力。没有掌握一定的数学解题技巧,单纯的利用面积公式进行思考会延误答题时间,而且增加运算难度,而使用模型解题策略会提升学生关于此题的解题速度,节省答题时间。当然,有效的模型解题策略也是二轮复习中要集中完成的复习过程。
原题再现
解题分析
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证法多种,以下给出两种较为适宜的做法
思路解析一:利用角平分线性质证PG=PH,再利用三角形全等证PC=PE
思路解析二:由ΔAPB和ΔCPB全等得PA=PC,再利用等腰三角形判定证PA=PE,所以得PC=PE
<(2)延长AP交直线CD于点F.
① 如图2,若点F是CD的中点,求△APE的面积;
② 若△APE的面积是,则DF的长为 ;>
本问侧重计算,重在审题,特别是对“延长AP交直线CD于点F”的理解,决定答案的准确性。通过对解题过程的完善,提炼出的解题方法,思路,过程。完成有特殊到一般的几何问题的处理方法。适当的引进方程、函数思想有助于问题的解决。既让学生体会数形结合思想的重要性,也提升了问题的综合能力。
法一:
思路解析:①过P点作PM⏊AB并延长MP交CD于N,证ΔAPE相似于ΔDPF,利用相似三角形的相似比等于对应高的比求出PM=4,PN=2;由矩形AMND和等腰直角ΔDPN,可求AM=DN=2,即AE=4。所以SΔAPE=8
法二:
思路分析:在基本图形基础上,由“八字相似”及“同高等底”面积关系进行解答。
思路解析:②可以设DN=AM=x,所以AE=2x,PM=6-x;利用面积公式求得
,再利用相似三角形性质可求DF=9或4,
<(3)如图3,点 E在边AB上,连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q,连接PQ,MQ,过点P作PN∥CD交EC于点N,连接QN,若PQ=5,则△MNQ的面积是 .>
本题是建立在正方形基础上的几何综合问题,既有对简单几何图形——正方形基本性质的考察,也有对基本图形嵌在一起——“对角互补”,“八字相似”,“A字相似”,“半角模型”的考察,对学生而言,存在一定难度。在解决问题的过程中,基本性质,基本模型是解决问题的基础,灵活应用全等,相似,面积公式,函数,方程等诸多知识,实现数形结合是解决问题的有效手段。希望同学们在学习过程中既要熟练掌握学过的几何基础知识,基本图形。更要重视,分析过程和反思过程,实现基础知识,解题方法融汇贯通。
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