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概述
二叉树的遍历是一个很常见的问题。二叉树的遍历方式主要有:先序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。先序、中序、后序其实指的是父节点被访问的次序。若在遍历过程中,父节点先于它的子节点被访问,就是先序遍历;父节点被访问的次序位于左右孩子节点之间,就是中序遍历;访问完左右孩子节点之后再访问父节点,就是后序遍历。不论是先序遍历、中序遍历还是后序遍历,左右孩子节点的相对访问次序是不变的,总是先访问左孩子节点,再访问右孩子节点。而层次遍历,就是按照从上到下、从左向右的顺序访问二叉树的每个节点。
在介绍遍历算法之前,先定义一个二叉树的结构体。使用的是 C++ 语言。
//filename: BinTreeNode.h template <typename T> struct BinTreeNode {
T data; //数据域 BinTreeNode * LeftChild; //左孩子节点指针 BinTreeNode * RightChild; //右孩子节点指针 BinTreeNode * parent; //父节点指针 };
先序遍历
递归
使用递归,很容易写出一个遍历算法。代码如下:
//filename: BinTreeNode.h template <typename T>
void travPre_R(BinTreeNode<T> * root) {
//二叉树先序遍历算法(递归版) if (!root) return;
cout << root->data;
travPre_R(root->LeftChild);
travPre_R(root->RightChild);
}
迭代
在之前的文章中,我不止一次地说过,递归是很耗费计算机资源的,所以我们在写程序的时候要尽量避免使用递归。幸运的是,绝大部分递归的代码都有相应的迭代版本。那么我们就试着将上述递归代码改写成迭代的版本。改写之后,代码如下:
//filename: BinTreeNode.h template <typename T>
void travPre_I1(BinTreeNode<T> * root) {
//二叉树先序遍历算法(迭代版#1) Stack<BinTreeNode<T>*> s; //辅助栈 if (root) //如果根节点不为空 s.push(root); //则令根节点入栈 while (!s.empty()) {
//在栈变空之前反复循环 root = s.pop(); cout << root->data; //弹出并访问当前节点
//下面左右孩子的顺序不能颠倒,必须先让右孩子先入栈,再让左孩子入栈。 if (root->RightChild)
s.push(root->RightChild); //右孩子先入后出 if (root->LeftChild)
s.push(root->LeftChild); //左孩子后入先出 }
}
下面我们通过一个实例来了解一下该迭代版本是如何工作的。
PS:黑色的元素表示已经被弹出并访问过。
结合代码,该二叉树的先序遍历过程如下:
- 初始化一个空栈。
- 根节点入栈,此时将 a 入栈。
- 循环开始,弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 a。
- 如果 a 有右孩子,则将其右孩子节点入栈;如果 a 有左孩子,则将其左孩子节点入栈。此时栈中有 b、c 两个元素。
- 这时进入下一轮循环。弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 b。经检查,b 没有右孩子,也没有左孩子,进入下一轮循环。
- 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 c。c 的右孩子是 f,左孩子是 d,故分别将 d、f 入栈。进入下一轮循环。
- 此时栈中的元素是 d、f。
- 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 d。d 的右孩子是 e,d 没有左孩子,故将 e 入栈。进入下一轮循环。
- 此时栈中的元素是 e、f。
- 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 e。e 没有左右孩子,进入下一轮循环。
- 弹出并访问栈顶元素,此时栈顶元素是 f。f 没有左右孩子,进入下一轮循环。
- 此时栈为空,退出循环。遍历结束。
这个迭代的遍历算法非常简明,但是很遗憾,这种算法并不容易推广到我们接下来要研究的中序遍历和后序遍历。因此我问需要寻找另一种策略。
第 2 种迭代方式
我们来看一个规模更大、更具一般性的二叉树:
这个二叉树的先序遍历序列是:idcabhfeglkjnmpo,也就是遵循了下图所示的顺序:
再进一步,我们把二叉树抽象成下面这个样子,
~ 是二叉树的左侧链上的节点, ~ 分别是 ~ 的右孩子, ~ 分别是 ~ 的右子树。不难发现,二叉树的先序遍历就是先自上而下访问左侧链上的节点,再自下而上访问左侧链上的节点的右子树。而我们的遍历算法,就是根据这样一个思路来进行设计。
首先需要实现一个子方法,就是访问二叉树左侧链上的节点:
//从当前节点出发,沿左分支不断深入,直至没有左分支的节点;沿途节点遇到后立即访问 template <typename T> //元素类型、操作器 static void visitAlongLeftBranch ( BinTreeNode<T>* x, Stack<BinTreeNode<T>*>& S ) {
while ( x ) {
cout << x->data; //访问当前节点 if( x->RightChild )
S.push ( x->RightChild ); //右孩子入栈暂存(可优化:通过判断,避免空的右孩子入栈) x = x->LeftChild; //沿左分支深入一层 }
}
然后是主方法,在主方法中,通过迭代,不断地调用上面这个子方法,从而实现完整的二叉树先序遍历。
template <typename T> //元素类型、操作器 void travPre_I2 ( BinTreeNode<T>* root) {
//二叉树先序遍历算法(迭代版#2) Stack<BinTreeNode<T>*> S; //辅助栈 while ( true ) {
visitAlongLeftBranch ( root, S ); //从当前节点出发,逐批访问 if ( S.empty() ) break; //直到栈空 root = S.pop(); //弹出下一批的起点 }
}
中序遍历
递归
与先序遍历类似,递归版的中序遍历算法很容易实现,代码如下:
template <typename T>
void travIn_R(BinTreeNode<T> * root) {
//二叉树先序遍历算法(递归版) if (!root)
return;
travPre_R(root->LeftChild);
cout << root->data;
travPre_R(root->RightChild);
}
递归代码不仅容易实现,也很好理解,这里不再做过多解释。
迭代
参照迭代式先序遍历版本 2 的思路,在宏观上,我们可以将中序遍历的顺序抽象为,先访问二叉树的左侧链上的最底部的节点,然后访问该节点的右子树(如果有的话),然后访问该节点的父节点,然后访问该节点的父节点的右子树(如果有的话)……直至全部节点被访问完毕。如下图所示:
按照以上思路,可以实现迭代版中序遍历算法如下:
template <typename T> //从当前节点出发,沿左分支不断深入,直至没有左分支的节点 static void goAlongLeftBranch ( BinTreeNode<T> * x, Stack<BinTreeNode<T> * >& S ) {
while (x) {
S.push(x); x = x->LeftChild; } //当前节点入栈后随即向左侧分支深入,迭代直到无左孩子 }
template <typename T> //元素类型、操作器
void travIn_I(BinTreeNode<T> root) {
//二叉树先序遍历算法(迭代版)
Stack<BinTreeNode<T> > S; //辅助栈
while ( true ) {
goAlongLeftBranch ( root, S ); //从当前节点出发,逐批入栈
if ( S.empty() ) break; //直至所有节点处理完毕
root = S.pop();
cout << root->data; //弹出栈顶节点并访问之
root = root->RightChild; //转向右子树
}
}
也可以对代码稍加改进,将这两个方法写成一个方法:
template <typename T> //元素类型
void travIn_I2 ( BinTreeNode<T> root ) {
//二叉树中序遍历算法(迭代版#2)
Stack<BinTreeNode<T>> S; //辅助栈
while ( true )
if ( root ) {
S.push ( root ); //根节点进栈
root = root->LeftChild; //深入遍历左子树
} else if ( !S.empty() ) {
root = S.pop(); //尚未访问的最低祖先节点退栈
cout << root->data; //访问该祖先节点
root = root->RightChild; //遍历祖先的右子树
} else
break; //遍历完成
}
后序遍历
递归
与前两个一样,二叉树的后序遍历算法可以很容易地用递归的方式实现。
template <typename T>
void travPost_R(BinTreeNode<T> root) {
//二叉树先序遍历算法(递归版)
if (!root)
return;
travPost_R(root->LeftChild);
travPost_R(root->RightChild);
cout << root->data;
}
迭代
但是要想用迭代的方式实现后序遍历算法,则有一定的难度,因为左、右子树的递归遍历均严格地不属于尾递归。不过,仍可继续套用此前的思路和技巧,考虑一下,后序遍历中,首先访问的是哪个节点?答案就是二叉树的最高最左侧的叶子节点。
由于最高最左侧的叶子节点 V 可能是左孩子节点,也可能是右孩子节点,所以 V 与其父节点之间的联接用竖直的线表示。考查联接于 V 与树根之间的唯一通路(以粗线示意)。与先序与中序遍历类似地,自底而上地沿着该通路,整个后序遍历序列也可以分解为若干个片段。每一片段,分别起始于通路上的一个节点,并包括三步:访问当前节点,遍历以其右兄弟(若存在)为根的子树,以及向上回溯至其父亲节点(若存在)并转入下一片段。
基于以上理解,即可写出迭代式后序遍历算法。
template <typename T> //在以S栈顶节点为根的子树中,找到最高左侧叶节点
static void gotoHLVFL ( Stack<BinTreeNode<T>>& S ) {
//沿途所遇节点依次入栈
while ( BinTreeNode<T>* x = S.top() ) //自顶而下,反复检查当前节点(即栈顶)
if ( x->LeftChild ) {
//尽可能向左
if ( x->RightChild ) S.push ( x->RightChild ); //若有右孩子,优先入栈
S.push ( x->LeftChild ); //然后才转至左孩子
} else //实不得已
S.push ( x->RightChild ); //才向右
S.pop(); //返回之前,弹出栈顶的空节点
}
template <typename T>
void travPost_I ( BinTreeNode<T> root ) {
//二叉树的后序遍历(迭代版)
Stack<BinTreeNode<T>> S; //辅助栈
if ( root ) S.push ( root ); //根节点入栈
while ( !S.empty() ) {
if ( S.top() != root->parent ) //若栈顶非当前节点之父(则必为其右兄),此时需
gotoHLVFL ( S ); //在以其右兄为根之子树中,找到HLVFL(相当于递归深入其中)
root = S.pop(); cout << root->data; //弹出栈顶(即前一节点之后继),并访问之
}
}
层次遍历
在文章开头我们已经对层次遍历做了介绍,层次遍历严格按照自上而下、自左向右的顺序访问树的节点。所以我们需要用队列作为辅助,具体代码如下:
template <typename T> //元素类型
void travLevel ( BinTreeNode<T> root ) {
//二叉树层次遍历算法
Queue<BinTreeNode<T>> Q; //辅助队列
Q.enqueue ( root ); //根节点入队
while ( !Q.empty() ) {
//在队列再次变空之前,反复迭代
BinTreeNode<T>* x = Q.dequeue(); cout << x->data; //取出队首节点并访问之
if ( x->LeftChild ) Q.enqueue ( x->LeftChild ); //左孩子入队
if ( x->RightChild ) Q.enqueue ( x->RightChild ); //右孩子入队
}
}
好了,以上就是二叉树的几种常见的遍历方式。
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