三条平行线与等边三角形

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偶然在网上看到一道有意思的几何题，仔细思考了一下，确实有点趣。

原题是：平面上有任意三条平行线，使用尺规则作图画出一个等边三角形，使三角形的三个顶点分别在三条平行线上。

画法有好多种，搜集网上的一些画法，先介绍4种，再讨论一下三角形连长与平等线距离的关系，最后讨论下第二种画法的变化（三角形边长的唯一性未证明）。

第一种：

作图顺序：（颜色顺序：红—>绿—>蓝—>紫）
1.在三条直线上的中间直线上任选两点，O与A。
2.分别以O,A为圆心，OA为半径作圆，交于P，Q两点。
3.连接PA并延长，交直线L3于D；连接QA并延长，交直线L1于E。
4.于E点作EC平行于PD，交L3于C；于点D作DB平行于QE交L1于B。
5.连接AB，BC，CA。
证明：
连接DE（辅助线）//仔细观察等腰梯形，其中有全等三角形。
△CDE≌△DCB　＝＞　CB=DE
△DAE≌△BEA ＝＞ AB=ED
△CDA≌△EAD ＝＞ AC=DE
CB=AB=AC=DE ＝＞ △ABC为等边三角形

第二种：

作图顺序：（颜色顺序：红—>绿—>蓝—>紫）
1.在最上方直线上任取一点A，作垂直于L1的垂线交L2，L3分别于S，T。
2.以A点为圆心，将三条直线绕点A旋转60度，得到三条新的直线L1’，L2’，L3。（交点如上图所示）
3.以AT为中心线，作L2’的对称线交L3于点C。
4.连接AB，BC，CA。
证明：
△PQE为等边三角形（旋转三条直线60度，三个角均为60度。），△APR也为等边三角形。△ABC为△PQE的一个内接三角形。
△CPA≌△ABE≌△BCQ => CA=AB=BC => △ABC为等边三角形。

第三种：

作图顺序：（颜色顺序：红—>绿—>蓝—>紫）
1.在L3上任取一点A，作AT垂直于L3交L1，L2分别于T，S。
2.分别以S，T为圆心，ST为半径作两个圆交于D，E两点。
3.连接AD。
4.于点D作直线垂直于AD交L1，L2分别于C，B。
5.连接AB，BC，CA。
证明：略（可结合第二种方法证明）。

第四种：

作图顺序：（颜色顺序：红—>绿—>蓝—>紫—>青—>棕）
1.在直线L1上任取一点A。
2.过A点作垂直于L1的垂线交L2，L3分别于S，T。
3.作直线L4，L4为L1，L2的中位线，交AT于点D。
4.于点T作直线，交L4于点E，使∠ETA=30°。
5.连接AE并延长交L2于点B。
6.以A为圆心，AB为半径作圆，交L3于点C。
7.连接AC，CB。
证明：略（连接ES，计算AB/2=AE=ES的长度与m，n的关系，余弦定理得到AE²=2/3(m²+n²+mn)，再结合第二种画法证明)。

等边三角形连长与直线距离m,n的关系。

设等边三角形边长为p，在△AEB中，通过余弦定理可以得到：p²=4/3(m²+n²+mn)。
现在开始总结一下所有画法，就是先找出这个关于m，n算式长度的一条线段，那么画图也就算结束了。

关于第二种画法的变化

可以将画等边三角形改为画等腰直角三角形。

先旋转直线，再作L2的对称线。
证明：略（一个全等三角形就证明了）。

下面看一下旋转任意角度θ，结果如何？

∠CAB=?
连接AG，根据对称与旋转产生的全等三角形得到α+β+θ＝90°，从而得到∠CAB=θ。也就是说，旋转对称后得到一个顶角为θ的等腰三角形。三角形ABC腰长设为p，p²=csc²θ((m+n)²+n²-2(m+n)n*cosθ)。