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第0章 复习与引申
第1章 线性空间与线性变换
第2章 内积空间和等距变换
第3章 矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章 范数和矩阵函数
第6章 广义逆矩阵
第2章 内积空间和等距变换
将内积推广到抽象的线性空间，复数域
1 内积空间的概念
内积空间的定义： 设 V V V是数域 F F F上的线性空间，在 V V V上定义了一个二元函数 ⟨ α , β ⟩ \langle \alpha,\beta\rangle ⟨α,β⟩，若：
- ⟨ α , β ⟩ = ⟨ β , α ⟩ ‾ \langle \alpha,\beta\rangle=\overline{\langle\beta, \alpha\rangle} ⟨α,β⟩=⟨β,α⟩
- ∀ α , β , γ ∈ V , ⟨ α + β , γ ⟩ = ⟨ α , γ ⟩ + ⟨ β , γ ⟩ \forall \alpha,\beta,\gamma\in V,\langle\alpha+\beta,\gamma\rangle=\langle\alpha,\gamma\rangle+\langle\beta,\gamma\rangle ∀α,β,γ∈V,⟨α+β,γ⟩=⟨α,γ⟩+⟨β,γ⟩;
- ∀ α , β ∈ V , k ∈ F , ⟨ k α , β ⟩ = k ⟨ α , β ⟩ \forall \alpha,\beta\in V,k\in F,\langle k\alpha,\beta\rangle=k\langle \alpha,\beta\rangle ∀α,β∈V,k∈F,⟨kα,β⟩=k⟨α,β⟩；
- ∀ α ∈ V , ⟨ α , α ⟩ ≥ 0 \forall \alpha\in V,\langle \alpha,\alpha\rangle\geq0 ∀α∈V,⟨α,α⟩≥0
则称 ⟨ α , β ⟩ \langle \alpha,\beta\rangle ⟨α,β⟩是 α , β \alpha,\beta α,β的内积。定义了内积的线性空间称为内积空间。
当 F = R F=R F=R时，称 V V V为欧几里德空间，简称欧氏空间；当 F = C F=C F=C时，称 V V V是酉空间。
内积空间中的内积的性质：
- ⟨ α , β + γ ⟩ = ⟨ α , β ⟩ + ⟨ α , γ ⟩ \langle \alpha,\beta+\gamma\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle+\langle\alpha,\gamma\rangle ⟨α,β+γ⟩=⟨α,β⟩+⟨α,γ⟩;
- ⟨ α , k β ⟩ = k ‾ ⟨ α , β ⟩ \langle\alpha,k\beta\rangle=\overline{k}\langle\alpha,\beta\rangle ⟨α,kβ⟩=k⟨α,β⟩；
- ⟨ ∑ i = 1 s k i α i , ∑ j = 1 t l j β j ⟩ = ∑ i = 1 s ∑ j = 1 t k i l ‾ j ⟨ α i , β j ⟩ \langle\sum_{i=1}^sk_i\alpha_i,\sum_{j=1}^tl_j\beta_j\rangle=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^tk_i\overline{l}_j\langle\alpha_i,\beta_j\rangle ⟨∑i=1skiαi,∑j=1tljβj⟩=∑i=1s∑j=1tkilj⟨αi,βj⟩;
- 对于任意 α ∈ V \alpha\in V α∈V， ⟨ α , θ ⟩ = ⟨ θ , α ⟩ = 0 \langle\alpha,\theta\rangle=\langle\theta,\alpha\rangle=0 ⟨α,θ⟩=⟨θ,α⟩=0。
度量矩阵的定义：设 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,⋯,εn是 V V V的基， α , β ∈ V \alpha,\beta\in V α,β∈V坐标是 X = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T , Y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) T X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T X=(x1,x2,⋯,xn)T,Y=(y1,y2,⋯,yn)T，则 ⟨ α , β ⟩ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i y j ‾ ⟨ ε i , ε j ⟩ = X T A Y ‾ = Y H A T X \langle\alpha,\beta\rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_i\overline{y_j}\lang \varepsilon_i,\varepsilon_j\rang=X^TA\overline Y=Y^HA^TX ⟨α,β⟩=∑i=1n∑j=1nxiyj⟨εi,εj⟩=XTAY=YHATX。其中 A = ( ⟨ ϵ i , ϵ j ⟩ ) n × n A=(\lang\epsilon_i,\epsilon_j\rang)_{n\times n} A=(⟨ϵi,ϵj⟩)n×n是 V V V在基 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,⋯,εn下的度量矩阵。
当 F = R F=R F=R，则度量矩阵是对称矩阵： A = A T A=A^T A=AT；当 F = C F=C F=C，则度量矩阵是Hermite矩阵： A = A H A=A^H A=AH。度量矩阵A是正定矩阵
模（长度）的定义：设 α ∈ V \alpha\in V α∈V， α \alpha α的模定义为 ∣ ∣ α ∣ ∣ = ⟨ α , α ⟩ ||\alpha||=\sqrt{\lang\alpha,\alpha\rang} ∣∣α∣∣=⟨α,α⟩，若 ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ||\alpha||=1 ∣∣α∣∣=1，则称 α \alpha α是单位向量。
模的性质：
- ∀ α ∈ V , ∣ ∣ α ∣ ∣ ≥ 0 \forall \alpha\in V,||\alpha||\geq0 ∀α∈V,∣∣α∣∣≥0，且 ∣ ∣ α ∣ ∣ = 0 ⟺ α = θ ||\alpha||=0\iff \alpha=\theta ∣∣α∣∣=0⟺α=θ；
- ∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k\alpha||=|k|||\alpha|| ∣∣kα∣∣=∣k∣∣∣α∣∣，故若 α ≠ θ \alpha\neq\theta α=θ，则称 1 ∣ ∣ α ∣ ∣ α \frac{1}{||\alpha||}\alpha ∣∣α∣∣1α是单位向量。
C-B不等式定理： ∀ α , β ∈ V , ∣ ⟨ α , β ⟩ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ \forall \alpha,\beta\in V,|\lang\alpha,\beta\rang|\leq||\alpha||||\beta|| ∀α,β∈V,∣⟨α,β⟩∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣，而且等号成立 ⟺ \iff ⟺ α , β \alpha,\beta α,β线性相关。
三角不等式定理： ∀ α , β ∈ V , ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ≥ ∣ ∣ α + β ∣ ∣ \forall\alpha,\beta\in V,||\alpha||+||\beta||\geq||\alpha+\beta|| ∀α,β∈V,∣∣α∣∣+∣∣β∣∣≥∣∣α+β∣∣。
**距离的定义：**向量 α , β \alpha,\beta α,β的距离定义为 d ( α , β ) = ∣ ∣ α − β ∣ ∣ d(\alpha,\beta)=||\alpha-\beta|| d(α,β)=∣∣α−β∣∣
三角不等式的距离形式： ∀ α , β , γ ∈ V , d ( α , γ ) ≤ d ( α , β ) + d ( β , γ ) \forall\alpha,\beta,\gamma\in V,d(\alpha,\gamma)\leq d(\alpha,\beta)+d(\beta,\gamma) ∀α,β,γ∈V,d(α,γ)≤d(α,β)+d(β,γ)。
**向量正交性的定义：**若向量 α , β \alpha,\beta α,β的内积为零，则称 α , β \alpha,\beta α,β是正交的，记 α ⊥ β \alpha\perp\beta α⊥β。
勾股定理：若 α ⊥ β \alpha\perp\beta α⊥β，则 ∣ ∣ α + β ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ α ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ β ∣ ∣ 2 ||\alpha+\beta||^2=||\alpha||^2+||\beta||^2 ∣∣α+β∣∣2=∣∣α∣∣2+∣∣β∣∣2。
- 由两两正交（线性无关）的非零向量组成的向量组称为正交向量组；
- 由两两正交的单位向量组成的向量组称为标准正交向量组；
- 由正交向量组组成的基称为正交基；
- 由标准正交向量组组成的基称为标准正交基。
标准正交基下的内积：
- 若内积空间 V V V的一组基是标准正交基当且仅当相应的度量矩阵是单位阵；
- 设 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,⋯,εn是 V V V的标准正交基， α , β ∈ V \alpha,\beta\in V α,β∈V在 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,⋯,εn下的坐标是 X , Y X,Y X,Y，则 ⟨ α , β ⟩ = Y H X = ⟨ X , Y ⟩ C n \lang\alpha,\beta\rang=Y^HX=\lang X,Y\rang_{C^n} ⟨α,β⟩=YHX=⟨X,Y⟩Cn
Schmidt正交化方法：设 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ∈ V \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V α1,α2,⋯,αs∈V是线性无关的，首先进行正交化令:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \beta_1&=\alph…
然后，再对向量组 β i \beta_i βi进行单位化： γ i = 1 ∣ ∣ β i ∣ ∣ β i , i = 1 , ⋯ , s \gamma_i=\frac{1}{||\beta_i||}\beta_i,i=1,\cdots,s γi=∣∣βi∣∣1βi,i=1,⋯,s，则 γ 1 , ⋯ , γ s \gamma_1,\cdots,\gamma_s γ1,⋯,γs是与 α 1 , ⋯ , α s \alpha_1,\cdots,\alpha_s α1,⋯,αs等价的标准正交向量组。
酉矩阵的定义： n n n阶复矩阵 A A A若满足若 A H A = I A^HA=I AHA=I，则称为是酉矩阵。（正交阵的推广）
酉矩阵的性质：
-
A A A是酉矩阵 ⟺ \iff ⟺ A − 1 = A H A^{-1}=A^H A−1=AH ⟺ \iff ⟺A的行（列）向量组是 C n C^n Cn的标准正交基。
-
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 V V V的标准正交基， ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) = ( α 1 , α n , ⋯ , α n ) U (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)=(\alpha_1,\alpha_n,\cdots,\alpha_n)U (γ1,γ2,⋯,γn)=(α1,αn,⋯,αn)U，则 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn是标准正交基 ⟺ \iff ⟺ U U U是酉矩阵 ；（过渡矩阵为酉矩阵）
-
若 A , B A,B A,B是同阶酉矩阵，则 A − 1 , A B A^{-1},AB A−1,AB都是酉矩阵；
-
设 A A A是上（下）三角矩阵，若 A A A是酉矩阵，则 A A A是对角阵，且其主对角元的模均为1。
-
如果 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 V V V的基，则有标准正交基 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn使得 ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) T (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)T (γ1,γ2,⋯,γn)=(α1,α2,⋯,αn)T其中 T T T是上三角矩阵，则其主对角元均大于0.
矩阵的UT分解：设 A A A是 n n n阶可逆阵，则存在酉矩阵 U U U及主对角元均大于零的上三角矩阵 T T T，使得 A = U T A=UT A=UT，而且，满足上述条件的矩阵 U , Y U,Y U,Y是唯一的。（唯一性）
基扩充定理：假设 W W W是 V V V的子空间， α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是 W W W的标准正交基，则存在 α s + 1 , ⋯ , α n \alpha_{s+1},\cdots,\alpha_n αs+1,⋯,αn使得 α 1 , ⋯ , α s , α s + 1 , ⋯ , α n \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\alpha_{s+1},\cdots,\alpha_n α1,⋯,αs,αs+1,⋯,αn是 V V V的标准正交基。
2 正交补空间
正交空间的定义：设 W ≤ V , α ∈ V W\leq V,\alpha\in V W≤V,α∈V，若 ∀ β ∈ W , α ⊥ β \forall\beta\in W,\alpha\perp\beta ∀β∈W,α⊥β，则称 α ⊥ W \alpha\perp W α⊥W；若 W 1 , W 2 ≤ V W_1,W_2\leq V W1,W2≤V，对 ∀ α 1 ∈ W 1 , α 2 ∈ W 2 , α 1 ⊥ α 2 \forall\alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2,\alpha_1\perp\alpha_2 ∀α1∈W1,α2∈W2,α1⊥α2，称 W 1 ⊥ W 2 W_1\perp W_2 W1⊥W2。
设 W = L ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) , η ∈ V W=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s),\eta\in V W=L(α1,α2,⋯,αs),η∈V，则 η ⊥ W ⟺ ∀ j , η ⊥ α j \eta\perp W\iff\forall j,\eta\perp\alpha_j η⊥W⟺∀j,η⊥αj。
正交补空间的定义：设 W ≤ V W\leq V W≤V，记 W ⊥ = { α ∈ V ∣ α ⊥ W } W^\perp=\{\alpha\in V|\alpha\perp W\} W⊥={
α∈V∣α⊥W}，易证这是 V V V的子空间，称是 W W W在 V V V中的正交补空间。
正交补空间的直和定理：设 V V V是内积空间， W W W是 V V V的有限维子空间，则 V = W ⊕ W ⊥ V=W\oplus W^{\perp} V=W⊕W⊥，而且若 V = W ⊕ U V=W\oplus U V=W⊕U且 W ⊥ U W\perp U W⊥U，则 U = W ⊥ U=W^{\perp} U=W⊥。（唯一性）
推论：设 V V V是内积空间， W W W是 V V V的有限维子空间，则 ( W ⊥ ) ⊥ = W (W^{\perp})^{\perp}=W (W⊥)⊥=W。
值域和核空间的正交补空间：设 A ∈ C s × n A\in C^{s\times n} A∈Cs×n，定义线性映射 f : C n → C s f:C^n\rightarrow C^s f:Cn→Cs为： f ( x ) = A x , ∀ x ∈ C n f(x)=Ax,\forall x\in C^n f(x)=Ax,∀x∈Cn， f f f的值域和核空间分别记为 R ( f ) , K ( f ) R(f),K(f) R(f),K(f)。此时可得：
R ( A ) ⊥ = K ( A H ) , K ( A ) ⊥ = R ( A H ) R(A)^{\perp}=K(A^H),K(A)^{\perp}=R(A^H) R(A)⊥=K(AH),K(A)⊥=R(AH)
正投影的定义：已知 W ≤ V , α ∈ V W\leq V,\alpha\in V W≤V,α∈V，若 η ∈ W \eta\in W η∈W满足 d ( α , η ) = min ξ ∈ W d ( α , ξ ) d(\alpha,\eta)=\min_{\xi\in W}d(\alpha,\xi) d(α,η)=minξ∈Wd(α,ξ)，则称 η \eta η为 α \alpha α在 W W W中得正投影 。
正投影的定理：设 W ≤ V , η ∈ V W\leq V,\eta\in V W≤V,η∈V，则：
- η 0 ∈ W \eta_0\in W η0∈W是 η \eta η在 W W W中的正投影当且仅当 η − η 0 ⊥ W \eta-\eta_0\perp W η−η0⊥W；
- 设 W W W是内积空间 V V V的有限维子空间，则 V V V中任意向量在 W W W中的正投影一定存在；
- 若 α \alpha α在 W W W中的正投影存在，则正投影必定是唯一的。
3 等距变换
等距变换的定义：设 V V V是内积空间， f ∈ H o m ( V , V ) f\in Hom(V,V) f∈Hom(V,V)，若 ⟨ f ( α ) , f ( β ) ⟩ = ⟨ α , β ⟩ , ∀ α , β ∈ V \lang f(\alpha),f(\beta)\rang=\lang\alpha,\beta\rang,\forall \alpha,\beta\in V ⟨f(α),f(β)⟩=⟨α,β⟩,∀α,β∈V则称 f f f为等距变换。
若 F = R F=R F=R，则称 f f f是正交变换；若 F = C F=C F=C，则称 f f f是酉变换。
等距变换的充要条件：设 V V V是内积空间， f ∈ H o m ( V , V ) f\in Hom(V,V) f∈Hom(V,V)，下述条件等价：
- f f f保持长度不变；（1->2）
- f f f保持内积不变；（2->3）
- f f f将标准正交基变为标准正交基；（3->4）有限维时
- f f f在标准正交基下的矩阵为酉矩阵；（4->1）有限维时
欧氏空间中的镜像变换：设 V V V是一个欧式空间， ω ∈ V \omega\in V ω∈V是一个单位向量，映射 f : V → V , α ↦ α − 2 ⟨ α , ω ⟩ ω f:V\rightarrow V,\alpha\mapsto \alpha-2\lang\alpha,\omega\rang\omega f:V→V,α↦α−2⟨α,ω⟩ω，则 f f f是 V V V上的等距变换（正交变换）。
镜像变换在任意一组基下的矩阵都相似于 d i a g ( − 1 , 1 , ⋯ , 1 ) diag(-1,1,\cdots,1) diag(−1,1,⋯,1)。
参考文献：工程矩阵理论，张明淳著
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