求和符号的定义和性质是什么_数学分级用虚线还是逗号

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1. $\sum$的定义

在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号$\sum$及其运算性质就非常重要.
看下面的和式:
$a_1+a_2+...+a_n$ 表示n个数的和, 为了简化表述, 在1820年Joseph Fourier引入了定界的$\sum$表示法, 并且得到了应用普及. 上述和式表达如下:
$$a_1+a_2+...+a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
在${\sum }_{k=1}^n{a}_k$中, $k$称为指标变量(指标变量用什么字母无关紧要, 重要的是其取值的范围), 其值从1到n; $a_k$为$k$的函数.

注意:

• 指标变量不是必须从1开始的, 它可以从小于等于n的任何一个整数m开始, 比如:
  ${\sum }_{k=m}^n{a}_i=a_m+a_{m-1}+...+a_n$
• 特别地, ${\sum }_{k=n}^n=a_n$

了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解.

2. 求和符号运算的性质

定理1:
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^m{a}_k+\sum _{k=m+1}^n{a}_k.其中1<m<n$$
很明显, 这是加法结合律的必然结果. 相当于把n个数分成了两部分, 分别求和后再求和.

定理2:
$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k$$
证明: 由加法的交换律和结合律可知:
$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)$$
$$=(a_1+a_2+...+a_n)+(b_1+b_2+...+b_n)$$
$$=\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k$$
定理2可以进一步扩展到多项. 所以定理2表明, 我们可以把一个分解成多个, 当然也可以把多个求和符号合并为一个.
定理3:
$$\sum _{k=1}^{n}r{a}_k=r\sum _{k=1}^n{a}_k,其中的r为任意的常数.$$
定理3说明求和符号里的常数可以提取到求和符号外面. 这一点是乘法分配律的结果.

3. 应用

例1 : 已知${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$, 试求${\sum }_{i=1}^n(2i-1)$

解: ${\sum }_{i=1}^n(2i-1)=2{\sum }_{n=1}^{n}i-{\sum }_{i=1}^{n}1$
$=n(n+1)-n$
$=n^2$

例2: 已知${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$, 试求${\sum }_{i=1}^n{i}^2$.
解:由二项式定理得
$(i+1{)}^3=i^3+3i^2+3i+1$, 故有:

${\sum }_{i=1}^n(i+1{)}^3={\sum }_{i=1}^n{i}^3+3{\sum }_{i=1}^n{i}^2+3{\sum }_{i=1}^{n}i+{\sum }_{i=1}^{n}1(1)$
同时,
${\sum }_{i=1}^n(i+1{)}^3=2^3+3^3+...+n^3+(n+1{)}^3$
${\sum }_{i=1}^n{i}^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3$
所以得:
$$\sum _{i=1}^n(i+1{)}^3-\sum _{i=1}^n{i}^3=(n+1{)}^3-1(2)$$
将(2)式带入(1)得:
$$3\sum _{i=1}^n{i}^2+3\sum _{i=1}^{n}i+\sum _{i=1}^{n}1=(n+1{)}^3-1$$
再将已知条件带入, 最后得:
$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

一般说来, ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\ne {\sum }_{i=1}^n{a}_i.{\sum }_{i=1}^n{b}_i$. 因为${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$描述的是n项之和; 而${\sum }_{i=1}^n{a}_i.{\sum }_{i=1}^{n}bi$描述的是$n^2$项之和, 而且这些项包含了${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$的所有项.

4. 双重求和

对于一个$m\times n$矩阵来说, 一般表示如下:
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

那么如果要求矩阵A的所有元素之和, 可以简略记为${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}$, 注意符号${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n$ 是一个整体, 称为双重求和符号.

矩阵A所有元素之和有两种方法: 一种是先求各行的元素之和, 再将各行的和累加; 另一种方法是先求各列的和, 再将各列的和累加.
(1) 先按行求和, 有
$$\sum _{j=1}^n{a}_{1j}+\sum _{j=1}^n{a}_{2j}+...+\sum _{j=1}^n{a}_{mj}=\sum _{i=1}^m(\sum _{j=1}^n{a}_{ij})$$
(2) 先按列求和, 有
$$\sum _{i=1}^m{a}_{i1}+\sum _{i=1}^m{a}_{i2}+...+\sum _{i=1}^m{a}_{in}=\sum _{j=1}^n(\sum _{i=1}^m{a}_{ij})$$
由于${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij},{\sum }_{i=1}^m({\sum }_{j=1}^n{a}_{ij})$和${\sum }_{j=1}^n({\sum }_{i=1}^m{a}_{ij})$都表示的是同一个矩阵中所有元素之和, 所以三者是相等的.
定理4:
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\sum _{i=1}^m(\sum _{j=1}^n{a}_{ij})=\sum _{j=1}^n(\sum _{i=1}^m{a}_{ij})$$
这表明，双重求和可以化成对i和j的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们即可以先对i求和也可以先对j求和。

例3: 设$a_{ij}=i+j$, 试求${\sum }_{j=1}^m{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}$
解:
$$\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n{a}_{ij}=\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n(i+j)$$
$$=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^n(i+j))$$
$$=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^{n}i+nj)$$
$$=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^{n}i)+n\sum _{j=1}^{m}j$$
$$=m\sum _{i=1}^{n}i+n\sum _{j=1}^{m}j$$
$$=m\frac{n(n+1)}{2}+n\frac{m(m+1)}{2}$$
$$=\frac{1}{2}mn(m+n+2)$$
例4: 求 ${\sum }_{j=1}^m{\sum }_{i=1}^{n}ij$

解: $$\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^{n}ij=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^{n}ij)$$
$$=\sum _{j=1}^m(j\sum _{i=1}^{n}i)$$
$$=\sum _{j=1}^m(j\frac{n(n+1)}{2})$$
$$=\frac{n(n+1)}{2}\sum _{j=1}^{m}j$$
$$=\frac{n(n+1)}{2}\frac{m(m+1)}{2}$$
$$=\frac{1}{4}mn(m+1)(n+1)$$