求和符号的定义和性质是什么_数学分级用虚线还是逗号

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1. $\sum$ 的定义

在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号 $\sum$ 及其运算性质就非常重要.
看下面的和式:
$a_1+a_2+…+a_n$ 表示n个数的和, 为了简化表述, 在1820年Joseph Fourier引入了定界的 $\sum$ 表示法, 并且得到了应用普及. 上述和式表达如下:
$a_1 + a_2 + … + a_n = \sum_{k=1}^n a_k$
在 $\sum_{k=1}^na_k$ 中, $k$ 称为指标变量(指标变量用什么字母无关紧要, 重要的是其取值的范围), 其值从1到n; $a_k$ 为 $k$ 的函数.

注意:

指标变量不是必须从1开始的, 它可以从小于等于n的任何一个整数m开始, 比如:
$\sum_{k=m}^n a_i = a_m + a_{m-1} + … + a_n$
特别地, $\sum_{k=n}^n = a_n$

了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解.

2. 求和符号运算的性质

定理1:
$\sum_{k=1}^na_k = \sum_{k=1}^ma_k + \sum_{k=m+1}^na_k . 其中1\lt m \lt n$
很明显, 这是加法结合律的必然结果. 相当于把n个数分成了两部分, 分别求和后再求和.

定理2:
$\sum_{k=1}^n(a_k + b_k)=\sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_k$
证明: 由加法的交换律和结合律可知:
$\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1) + (a_2+b_2) + … + (a_n+b_n)$
$\quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad =(a_1+a_2+…+a_n) + (b_1 + b_2+…+b_n)$
$\sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_k \quad \quad \quad\quad$
定理2可以进一步扩展到多项. 所以定理2表明, 我们可以把一个分解成多个, 当然也可以把多个求和符号合并为一个.
定理3:
$\sum_{k=1}^nra_k=r\sum_{k=1}^na_k, 其中的r为任意的常数.$
定理3说明求和符号里的常数可以提取到求和符号外面. 这一点是乘法分配律的结果.

3. 应用

例1 : 已知 $\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}$ , 试求 $\sum_{i=1}^n(2i-1)$

解: $\sum_{i=1}^n(2i-1)=2\sum_{n=1}^n i – \sum_{i=1}^n 1$
$\quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n(n+1)-n$
$\quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n^2$

例2: 已知 $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$ , 试求 $\sum_{i=1}^n i^2$ .
解:由二项式定理得
$i+1)^3 = i^3 + 3i^2 + 3i + 1$ , 故有:

$\sum_{i=1}^n(i+1)^3=\sum_{i=1}^ni^3 + 3\sum_{i=1}^ni^2 +3\sum_{i=1}^ni + \sum_{i=1}^n 1 \quad (1)$
同时,
$\sum_{i=1}^n(i+1)^3 = 2^3+3^3+… +n^3+(n+1)^3$
$\sum_{i=1}^ni^3 = 1^3+2^3+3^3+… +n^3$
所以得:
$\sum_{i=1}^n(i+1)^3-\sum_{i=1}^ni^3 =(n+1)^3-1\quad (2)$
将(2)式带入(1)得:
$3\sum_{i=1}^ni^2 + 3\sum_{i=1}^ni +\sum_{i=1}^n1=(n+1)^3 -1$
再将已知条件带入, 最后得:
$\sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

一般说来, $\sum_{i=1}^na_ib_i \ne \sum_{i=1}^na_i.\sum_{i=1}^nb_i$ . 因为 $\sum_{i=1}^na_ib_i$ 描述的是n项之和; 而 $\sum_{i=1}^na_i . \sum_{i=1}^nbi$ 描述的是 $n^2$ 项之和, 而且这些项包含了 $\sum_{i=1}^na_ib_i$ 的所有项.

4. 双重求和

对于一个 $m\times n$ 矩阵来说, 一般表示如下:
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

那么如果要求矩阵A的所有元素之和, 可以简略记为 $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}$ , 注意符号 $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n$ 是一个整体, 称为双重求和符号.

矩阵A所有元素之和有两种方法: 一种是先求各行的元素之和, 再将各行的和累加; 另一种方法是先求各列的和, 再将各列的和累加.
(1) 先按行求和, 有
$\sum_{j=1}^na_{1j}+\sum_{j=1}^na_{2j}+…+\sum_{j=1}^na_{mj}=\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})$
(2) 先按列求和, 有
$\sum_{i=1}^ma_{i1}+\sum_{i=1}^ma_{i2}+…+\sum_{i=1}^ma_{in}=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij})$
由于 $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}, \sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})$ 和 $\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij})$ 都表示的是同一个矩阵中所有元素之和, 所以三者是相等的.
定理4:
$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij} =\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij})$
这表明，双重求和可以化成对i和j的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们即可以先对i求和也可以先对j求和。

例3: 设 $a_{ij}=i+j$ , 试求 $\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}$
解:
$\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n(i+j)$
$\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n(i+j))$
$\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni+nj)$
$\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni)+n\sum_{j=1}^mj$
$\quad\quad\quad\quad\quad=m\sum_{i=1}^ni+n\sum_{j=1}^mj$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=m\frac{n(n+1)}{2} + n\frac{m(m+1)}{2}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}mn(m+n+2)$
例4: 求 $\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij$

解: $\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n ij)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
$=\sum_{j=1}^m(j\sum_{i=1}^n i)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
$=\sum_{j=1}^m(j\frac{n(n+1)}{2})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
$=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{j=1}^mj\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
$=\frac{n(n+1)}{2}\frac{m(m+1)}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
$=\frac{1}{4}mn(m+1)(n+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$