GBDT算法原理以及实例理解[通俗易懂]

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写在前面： 去年学习GBDT之初，为了加强对算法的理解，整理了一篇笔记形式的文章，发出去之后发现阅读量越来越多，渐渐也有了评论，评论中大多指出来了笔者理解或者编辑的错误，故重新编辑一版文章，内容更加翔实，并且在GitHub上实现了和本文一致的GBDT简易版（包括回归、二分类、多分类以及可视化），供大家交流探讨。感谢各位的点赞和评论，希望继续指出错误。
  Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial

简介：

  GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree，梯度提升树，在传统机器学习算法中，GBDT算的上TOP3的算法。想要理解GBDT的真正意义，那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting 和Decision Tree分别是什么？

1. Decision Tree：CART回归树

  首先，GBDT使用的决策树是CART回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。为什么不用CART分类树呢？因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值，是连续值所以要用回归树。
  对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判拟合程度。

回归树生成算法：
输入：训练数据集$D$:
输出：回归树$f(x)$.
在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
（1）选择最优切分变量$j$与切分点$s$，求解
$$\underset{j,s}{\min }\left[\underset{c_1}{\min }\sum _{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1{)}^2+\underset{c_2}{\min }\sum _{x_i\in R_2(j,s)}(y_i-c_2{)}^2\right]$$遍历变量$j$，对固定的切分变量$j$扫描切分点$s$，选择使得上式达到最小值的对$(j,s)$.
（2）用选定的对$(j,s)$划分区域并决定相应的输出值：$$R_1(j,s)=x|x^{(j)}\le s,R_2(j,s)=x|x^{(j)}>s$$$$\widehat{c_m}=\frac{1}{N}\sum _{x_1\in R_m(j,s)}{y}_i,x\in R_m,m=1,2$$（3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。
（4）将输入空间划分为$M$个区域 $R_1,R_2,...R_M$，生成决策树：
$$f(x)=\sum _{m=1}^M{\hat{c}}_{m}I(x\in R_m)$$

2. Gradient Boosting： 拟合负梯度

  梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。

  先来个通俗理解：假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。

提升树算法：
（1）初始化$f_0(x)=0$
（2）对$m=1,2,...,M$
 （a）计算残差$$r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x),i=1,2,...,N$$ （b）拟合残差$r_{mi}$学习一个回归树，得到$h_m(x)$
 （c）更新$f_m(x)=f_{m-1}+h_m(x)$
（3）得到回归问题提升树$$f_M(x)=\sum _{m=1}^M{h}_m(x)$$

上面伪代码中的残差是什么？
在提升树算法中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是$$f_{t-1}(x)$$损失函数是$$L(y,f_{t-1}(x))$$我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器$$h_t(x)$$最小化让本轮的损失$$L(y,f_t(x))=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))$$当采用平方损失函数时$$L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))$$$$=(y-f_{t-1}(x)-h_t(x){)}^2$$$$=(r-h_t(x){)}^2$$这里，$$r=y-f_{t-1}(x)$$是当前模型拟合数据的残差（residual）所以，对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。
  回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二 次残差4岁……

  当损失函数是平方损失和指数损失函数时，梯度提升树每一步优化是很简单的，但是对于一般损失函数而言，往往每一步优化起来不那么容易，针对这一问题，Friedman提出了梯度提升树算法，这是利用最速下降的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。
那么负梯度长什么样呢？
第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为：$$-[\frac{\partial L(y,f(x_i)))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}$$此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度，如果选择平方损失$$L(y,f(x_i))=\frac{1}{2}(y-f(x_i){)}^2$$负梯度为$$-[\frac{\partial L(y,f(x_i)))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}=y-f(x_i)$$  此时我们发现GBDT的负梯度就是残差，所以说对于回归问题，我们要拟合的就是残差。
  那么对于分类问题呢？二分类和多分类的损失函数都是$logloss$，本文以回归问题为例进行讲解。

3. GBDT算法原理

  上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。

GBDT算法：
（1）初始化弱学习器
$$f_0(x)={argmin}_c\sum _{i=1}^{N}L(y_i,c)$$（2）对$m=1,2,...,M$有：
 （a）对每个样本$i=1,2,...,N$，计算负梯度，即残差
$$r_{im}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i)))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{m-1}(x)}$$
 （b）将上步得到的残差作为样本新的真实值，并将数据$(x_i,r_{im})，i=1,2,..N$作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树$f_m(x)$其对应的叶子节点区域为$R_{jm},j=1,2,...,J$。其中$J$为回归树t的叶子节点的个数。
 （c）对叶子区域$j=1,2,..J$计算最佳拟合值
$${{\rm Y}}_{jm}=\underset{{\rm Y}}{argmin}\sum _{x_i\in R_{jm}}L(y_i,f_{m-1}(x_i)+{\rm Y})$$ （d）更新强学习器
$$f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum _{j=1}^J{{\rm Y}}_{jm}I(x\in R_{jm})$$（3）得到最终学习器
$$f(x)=f_M(x)=f_0(x)+\sum _{m=1}^M\sum _{j=1}^J{{\rm Y}}_{jm}I(x\in R_{jm})$$

4. 实例详解

本人用python以及pandas库实现GBDT的简易版本，在下面的例子中用到的数据都在github可以找到，大家可以结合代码和下面的例子进行理解，欢迎star~
  Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial

数据介绍：

  如下表所示：一组数据，特征为年龄、体重，身高为标签值。共有5条数据，前四条为训练样本，最后一条为要预测的样本。

训练阶段：

参数设置：

• 学习率：learning_rate=0.1
• 迭代次数：n_trees=5
• 树的深度：max_depth=3

1.初始化弱学习器:$$f_0(x)={argmin}_c\sum _{i=1}^{N}L(y_i,c)$$  损失函数为平方损失，因为平方损失函数是一个凸函数，直接求导，倒数等于零，得到$c$。
$$\sum _{i=1}^N\frac{\partial L(y_i,c))}{\partial c}=\sum _{i=1}^N\frac{\partial (\frac{1}{2}(y_i-c{)}^2)}{\partial c}=\sum _{i=1}^{N}c-y_i$$令导数等于0
$$\sum _{i=1}^{N}c-y_i=0$$$$c=(\sum _{i=1}^N{y}_i)/N$$所以初始化时，$c$取值为所有训练样本标签值的均值。$c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475$，此时得到初始学习器$f_0(x)$
$$f_0(x)=c=1.475$$

2.对迭代轮数m=1，2,…,M:
  由于我们设置了迭代次数：n_trees=5，这里的$M=5$。
  计算负梯度，根据上文损失函数为平方损失时，负梯度就是残差残差，再直白一点就是 $y$与上一轮得到的学习器$f_{m-1}$的差值
　　$$r_{i1}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i)))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_0(x)}$$
残差在下表列出：

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器$f_1(x)$，即下表数据

  接着，寻找回归树的最佳划分节点，遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始，到体重特征的70结束，分别计算分裂后两组数据的平方损失（Square Error），$S{E}_l$左节点平方损失，$S{E}_r$右节点平方损失，找到使平方损失和$S{E}_{sum}=S{E}_l+S{E}_r$最小的那个划分节点，即为最佳划分节点。
  例如：以年龄7为划分节点，将小于7的样本划分为到左节点，大于等于7的样本划分为右节点。左节点包括$x_0$，右节点包括样本$x_1,x_2,x_3$，$S{E}_l=0,S{E}_r=0.140,S{E}_{sum}=0.140$，所有可能划分情况如下表所示：

  以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点：年龄21和体重60，所以随机选一个作为划分点，这里我们选 年龄21
  现在我们的第一棵树长这个样子：

  我们设置的参数中树的深度max_depth=3，现在树的深度只有2，需要再进行一次划分，这次划分要对左右两个节点分别进行划分：

  对于左节点，只含有0,1两个样本，根据下表我们选择年龄7划分

  对于右节点，只含有2,3两个样本，根据下表我们选择年龄30划分（也可以选体重70）

  现在我们的第一棵树长这个样子：

  此时我们的树深度满足了设置，还需要做一件事情，给这每个叶子节点分别赋一个参数${\rm Y}$，来拟合残差。$${{\rm Y}}_{j1}=\underset{{\rm Y}}{argmin}\sum _{x_i\in R_{j1}}L(y_i,f_0(x_i)+{\rm Y})$$  这里其实和上面初始化学习器是一个道理，平方损失，求导，令导数等于零，化简之后得到每个叶子节点的参数${\rm Y}$，其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的 $y$，而是本轮要拟合的标残差 $y-f_0(x)$.
  根据上述划分结果，为了方便表示，规定从左到右为第$1,2,3,4$个叶子结点$$(x_0\in R_{11})，{{\rm Y}}_{11}=-0.375$$$$(x_1\in R_{21})，{{\rm Y}}_{21}=-0.175$$$$(x_2\in R_{31})，{{\rm Y}}_{31}=0.225$$$$(x_3\in R_{41})，{{\rm Y}}_{41}=0.325$$
  此时的树长这个样子：

  此时可更新强学习器，需要用到参数学习率：learning_rate=0.1，用$lr$表示。
$$f_1(x)=f_0(x)+lr\ast \sum _{j=1}^4{{\rm Y}}_{j1}I(x\in R_{j1})$$
为什么要用学习率呢？这是Shrinkage的思想，如果每次都全部加上（学习率为1）很容易一步学到位导致过拟合。

重复此步骤，直到 $m>5$ 结束，最后生成5棵树。
下面将展示每棵树最终的结构，这些图都是GitHub上的代码生成的，感兴趣的同学可以去一探究竟
Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
第一棵树：

第二棵树：

第三棵树：

第四棵树：

第五棵树：

4.得到最后的强学习器：
$$f(x)=f_5(x)=f_0(x)+\sum _{m=1}^5\sum _{j=1}^4{{\rm Y}}_{jm}I(x\in R_{jm})$$

5.预测样本5：
  $f_0(x)=1.475$
  在$f_1(x)$中，样本4的年龄为25，大于划分节点21岁，又小于30岁，所以被预测为0.2250。
  在$f_2(x)$中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.2025
   为什么是0.2025？这是根据第二颗树得到的，可以GitHub简单运行一下代码
  在$f_3(x)$中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1823
  在$f_4(x)$中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1640
  在$f_5(x)$中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1476
最终预测结果：$$f(x)=1.475+0.1\ast (0.225+0.2025+0.1823+0.164+0.1476)=1.56714$$

4. 总结

本文章从GBDT算法的原理到实例详解进行了详细描述，但是目前只写了回归问题，GitHub上的代码也是实现了回归、二分类、多分类以及树的可视化，希望大家继续批评指正，感谢各位的关注。

参考资料

1. 李航 《统计学习方法》
2. Friedman J H . Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine[J]. The Annals of Statistics, 2001, 29(5):1189-1232.

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