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前面我们讲过一个关于字符串的算法:KMP算法。今天我们来讲另外一个字符串算法:Manacher算法。这个算法是用于解决一个问题叫:最长回文子串。
前期文章:KMP算法
说的简单一点,给定一个字符串,返回的值是这个字符串的最长回文子串的长度。顾名思义,即是回文串,也是子串。
文章目录
一、BF算法
那上图的示例2为例:abc1234321ab。
最简单的思路就是从左到右遍历每一个字符。每来到一个字符位置,我们可以向左右两边进行扩展,分别比较左右两边的字符。如果相等,就继续向两边扩展;如果不相等,就停止,计算以当前字符,向两边扩展出的长度,就是以当前字符为中心的回文子串。比如:
就像上图这样,从左往右依次遍历即可。
上面这种思路确实能够解题,但是还有一个很重要的点,那就是假设给定的字符串是偶数个字符,那么这种方式就会错过一些回文子串的匹配,因为此时对于偶数个字符来说,对称点是在中间两个字符之间的,如下图:
所以以每个字符为中心点,向两边扩展,还是存在着一定的问题。如何解决呢?
那就是将原字符串进行处理,加工为一个含有特殊字符的字符串,比如原字符串为:123321,;加工后的字符串为:#1#2#3#3#2#1#;
也就是说,在每个字符的中间,加入其它字符,这样就能使一个偶数个字符的字符串,转换为奇数个字符的字符串。这样就可以遍历,向两边扩展了。
问题:我们所加入的字符,必须是原字符中没有的字符吗?
这个问题留作大家思考。
public static int getLengthOfSubString(String str) {
if (str == null) {
return 0;
}
char[] generateStr = generateString(str);
int length = generateStr.length;
int max = 0; //答案
for (int i = 0; i < length; i++) {
int tmp = 1; //每个字符都能以自己本身的字符作为回文子串。所以初始值是1
int radius = 1; //回文半径,也就是以i位置为中心,半径radius的范围内
while (i - radius >= 0 && i + radius < length) {
//左右两边都在数组的范围内,循环继续
if (generateStr[i - radius] == generateStr[i + radius]) {
tmp += 2; //左右两个字符相等的情况
radius++; //回文半径加1
} else {
break;
}
}
max = Math.max(max, tmp); //判断当前的tmp是否是最长的回文子串
}
return max / 2; //因为我们比较的处理后的字符串,计算出的回文串要除以2.才是最终的答案
}
public static char[] generateString(String str) {
char[] res = new char[str.length() * 2 + 1]; //原2倍长度,再加1
int index = 0;
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
//奇数位置放#,偶数位置放原字符
res[i] = (i % 2) == 1? str.charAt(index++) : '#';
}
return res;
}
以上代码就是BF算法,暴力解。每个字符都需要遍历一次,而每次字符都需要向外扩展,最坏情况下,就是向外扩展一直到整个字符串结束。比如:1111111; 这种情况就是每个字符向外扩展,都会扩展很长,甚至是扩展至字符串结束,所以这个BF算法的时间复杂度是O(N2) 。
二、Manacher算法
Manacher算法也是在BF算法的基础之上,做了优化。所以大家看Manacher算法之前,先理解BF暴力解的流程。
Manacher算法引入了三个概念:
- 当前回文子串的中心点 :C
- 当前已经遍历到最长回文子串的最右边界下标:R
- 回文半径数组;(用于存储已经扩展完成的回文子串的半径)
通过上面三个变量,我们就能解决这一难题了。话不多说,讲述推导过程。整体分为两个大步骤。C和R的初始值都是-1,也就是数组最左边的外面。
-
当i位置(当前遍历的字符)不在R(最右边界)内时:
此时这种情况,我们只能向左右两边进行扩展。这个没办法。重要的是第2种情况。
-
当i位置(当前遍历的字符)在R(最右边界)内时:
以7为中心,向两边扩展出来的回文子串,就是橙色括号圈起来的范围。此时的i就是在R边界的里面。
当我们以中心点为对称点,做出i的对称点,如下图:
做出来的对称点,我们就能得到这个点的下标。然后去回文半径数组里查这个下标对应的回文半径,就能得到关于这个对称点的回文子串。例如上图中黑色虚线框中的值。
对于黑色虚线框的值,我们又可以分为三种小情况:
-
黑色虚线框与以C中心点扩展的回文子串压线:
压线的情况,就是上图中这种情况,黑色虚线框的左边界与橙色线重合。 根据对称性,因为黑色虚线框的值是回文子串,那么右边以i为中心,也能扩展出回文子串。如下图所示:
所以我们可以直接通过对称点i得到已经完成匹配的回文子串。然后我们可以直接从i位置的已经计算好的回文子串外开始扩展。比如:左边值7和右边值1做比较,如果相等,当前回文半径加1,然后继续比较下一对字符。
-
黑色虚线框的左边界,超过了以C中心点扩展的回文子串的左边界(超出):如下图:
对称点i,以它为中心对应的回文子串正如左边的黑色虚线框所示:2,3,4,3,2。此时虚线框已经超出了橙色线的范围,又因为橙色线范围内是一个回文子串。所以我们可以推导出当前i位置,至少有回文子串,就是(R-i)为半径的范围。即上图右边黑色虚线框内。
此时我们只需要在此基础之上,比较R右边的值5 和 黑色虚线框左边的2,看是否相等。若相等,则再次比较下一对字符。依次类推。
-
黑色虚线框整体,都是在以C中心点扩展的回文子串的左半部分(即没压线,也没超出):如下图:
此时以i位置为中心,向左右两边扩展,就可以从黑色虚线框两边开始比较字符了。
上面三种情况,都是由对称点i得到关于该点的回文子串;再对称到右边i位置,以此为基础,继续向外扩展比较字符。那可能有同学就会疑惑,为什么就能从左边对称点i,就能推导出右边i位置的回文子串呢? 证明如下:
-
上述所有,就是Manacher的推导过程,就是通过对称,拿到C点左边的对称点。就能从回文半径数组中拿到该位置的回文子串。因此就能对应到C点右边的回文子串,在此基础之上进行字符比较,节省了一些已经比较过的字符的时间。
public static int manacherStr(String str) {
if (str == null || str.length() < 1) {
return 0;
}
char[] s = generateString(str);
int length = s.length;
int C = -1; //回文子串的中心点
int R = -1; //最长回文子串的右边界
int[] pArr = new int[length]; //回文半径数组
int max = 0; //答案
for (int i = 0; i < length; i++) {
//判断i是否在R的范围内。如果不在,选择相应的对称点。
pArr[i] = i < R? Math.min(R - i, pArr[2 * C - i]) : 1;
//以下循环,就是上面上面分析的3种小情况。也可以自己用if else语句
while (i - pArr[i] >= 0 && i + pArr[i] < length) {
if (s[i - pArr[i]] == s[i + pArr[i]]) {
//左右两边的字符
pArr[i]++; //回文半径加1
} else {
break;
}
}
//更新 新的回文子串的右边界和 C中心点
if (i + pArr[i] > R) {
R = i + pArr[i];
C = i;
}
max = Math.max(max, pArr[i]); //判断是否是最长回文半径
}
return max - 1; //最终的答案,与max的值,相差1
}
public static char[] generateString(String str) {
char[] res = new char[str.length() * 2 + 1]; //原2倍长度,再加1
int index = 0;
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
//奇数位置放#,偶数位置放原字符
res[i] = (i % 2) == 1? str.charAt(index++) : '#';
}
return res;
}
上述所有,就是Manacher算法的全部。Manacher就是在BF算法基础之上,新加了回文半径数组。对于这个数组来,可以解决很多关于字符串的问题,所以很好的掌握这个算法,对以后刷题有很大的帮助。
好啦,本期更新就到此结束啦!!!我们下期见!!!
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