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目录:
3. 古典概率Classical Probability
频率概率:
古典概型:
这个例子,n的区别就是指定和没有指定。
后面365*364******* 意思是每个人的生日都不一样,就是一个排列。题目要求的至少两人,它的对立面就是少于两人,那意思就是每一个人的生日都不一样。
4. 几何概率 geometric probability
面积示例:
思考下面这种问题方式,不用从几何导代数,要依靠几何,从代数到几何。比如我们先定义了x 和 y,他们代表的就是两人到达的时间点,都被特征化到了0-60. 很显然几何上就是一个正方形,然后互相只等15min,那就是差的绝对值小于等于15就行了,然后根据这个画图即可。
角度示例:
这个问题想出 x 和 角度 的取值范围都很简单,然后可以把他们转化为几何和代数,可以把 x 看作值域,角度看作定义域,这样图上就已经画出了一片空间。
然后建立一个满足要求的方程:方程的思想是针的中心点和边的距离0到某个方程,这样 x 的方程式就出来了。然后画在图上,积分求面积即可。
这个问题有三种解法:
任意做弦,当且仅当该弦的半径在半径为r/2圆内时成立才行。
任意做弦,根据圆的对称性,由对称性,确定两条 根号三r的弦,大于它的肯定就固定在这里面。答案也很好出来,因为是正三角形,DC弧长是圆周长的⅓,所以概率也就知道了。
任意做弦,弦肯定垂直于某个直径,根据对称性我们可以先确定一个直径,然后只考虑和该直径垂直的弦,只考虑中点能在该直线上移动的距离。
这里发现三种方法都没错,但是但是但是!!!答案却不一样!!
因为:任意做弦中任意是会产生很大很大区别的。
5. 概率定义及性质
只要定义在f上的,满足三个性质的p,我们都称为概率。 古典概率和几何概率都满足以下概率。
概率的性质:
6. 条件概率 Conditional Probability
条件概率既是指当某个事件发生的前提下,另一个事件发生的概率;
A就是古典概型(样本有限,等可能发生)
其实这个定义并不完全准确,很多时候,当某个事件没有发生的情况下,一个事件的概率也会发生变化;关键是看评估这个事件的概率的前提是什么,既是针对什么样的样本空间进行评估的,这才是条件概率真正的涵义所在;所以,笔者给出一个更为准确的定义,如下,
条件概率是指在某个特定前提条件下(既一个特定的样本空间 S )的特定的概率;比如,通常情况下,我们有事件 B 的概率 ?(?)=?/Ω,但是如果我们将事件 B 所参照的样本空间 Ω变为 ?,且? 是 Ω 的子集,B 与 ?存在交集 BS,这时 B 相对于前提条件 ?的概率为
数学上,将上式中的 ?(?)′ 表示为 ?(?|?),所以我们有
所以归纳起来,条件概率就是指某个事件 B 对样本空间 Ω 的某个子集 ? 的概率,而与其它某个事件是否真的发生与否无关,唯一变化的是计算概率的样本空间发生了改变而已。
乘法公式:
一般乘法公式:
这个题目P(AB)不能像上一个那样P(A)P(B)因为AB事件不是相关的,这个题目里面明显是相关的,30年内发洪水就包括了40年,所以P(AB)就是取交集,交集就是30年发洪水。这个不是相互独立的。
7. 乘法公式和全概率公式
联合概率:指的就是事件 A 与事件 B 同时发生的概率,我们理解一下,B 事件具有一定概率发生,在 B 事件概率发生时事件 A 此时有一定概率发生, 它们的乘积可就是联合概率,这个过程也能建立在A发生的基础上。有没有明白呢,就是一旦我知道 B 可能发生的概率,在这个基础上 A 在发生不就是联合发生了吗。
可以记做 P(A,B)=P(A|B)⋅P(B)=P(B|A)⋅P(A),当两个事件相互独立时P(A,B)=P(A)⋅P(B)。
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