AUC的公式_蔡勒公式

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AUC：随机抽出一对样本（一个正样本，一个负样本），然后用训练得到的分类器来对这两个样本进行预测，预测得到正样本的概率大于负样本概率的概率。
开始抽样：
在有M个正样本,N个负样本的数据集里。一共有MN对样本（一对样本即，一个正样本与一个负样本）。统计这MN对样本里，正样本的预测概率大于负样本的预测概率的个数。
在这里插入图片描述

计算：

（一）
2个正样本：C,D
2个负样本：A,B
样本对：(C,A) (C,B) (D,A) (D,B)
在（C，A）中，正样本的概率大于负样本的概率，记为1
在（C，B）中，正样本概率小于负样本概率，记为0
AUC=(1+1+1+0)/4=0.75
当出现概率一样的情况：

相等概率得分的样本，无论正负，谁在前，谁在后无所谓。这里计算概率是否正大于负既不能放1，又不甘放0，要打折的，取他们排序的平均数
注意看排序：从小到大
举例：对于B来讲，rank为6
对于C，D，E，F来讲，rank=(2+3+4+5)/4

先放公式，接下来讲为什么公式这样算：

参考上面的图：
【1】对于rank最高（概率最高）的A来说，其他所有样本都要甘拜下风，A在任何样本条件下与他们概率相比都要得1的，也就是这时有6（也即7-1，要减去自己）种胜出的可能
【2】对于rank排名第二的B来讲，除A之外的样本都要在B面前输掉的，这时产生了5（也即6-1）种胜出的可能
对于CDEF来讲，胜出可能都是（2+3+4+5）/4
【3】但是，
之前有定义过只能是正样本与负样本之间相比
对于A，要减去除A自己之外的负样本个数，也即3
对于B，要减去2
在【1】，【2】中，共减了4次1，也即正样本个数4
总的（正，负）有3 * 4种可能

【4】将公式换为更大的数字：
● 对预测概率从高到低排序
● 对每一个概率值设一个rank值（最高的概率的rank为n,第二高的为n-1）
● rank实际上代表了该score（预测概率）超过的样本的数目
为了求的组合中正样本的score值大于负样本，如果所有的正样本score值都是大于负样本的，那么第一位与任意的进行组合score值都要大，我们取它的rank值为n，但是n-1中有M-1是正样例和正样例的组合这种是不在统计范围内的（为计算方便我们取n组，相应的不符合的有M个），所以要减掉，那么同理排在第二位的n-1，会有M-1个是不满足的，依次类推，累加求和公式，故得到后面的公式M*(M+1)/2，我们可以验证在正样本score都大于负样本的假设下，AUC的值为1
● 有M*N种可能啦，除总数