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参考及致谢

一阶倒立摆的PID控制和LQR控制
由拉普拉斯变换到传递函数
函数f(t)二阶导数的拉普拉斯变换是什么？
[1]翟龙余.一级倒立摆仿真模型的建立[J].大众科技,2011(8):268-270.

模型建立

对小车的水平受力分析

$$M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N$$

1. $\ddot{x}$代表对运动距离的二阶微分，即小车在外力作用下的加速度。
2. $F$是外部施加给系统的外力。
3. $\dot{x}$代表小车当前的运动速度，小车所受到的摩擦力为摩擦系数与小车运动速度之积，即$f=b\dot{x}$。
4. $N$为倒单摆作用给小车水平方向的力。

对倒单摆的水平受力分析

摆杆做平面运动，其质心在外力作用下，在一段时间内的水平位移为$s=x-l\times sin\psi$ (因为倒立摆的倒向与外力$F$的方向相反，所以中间用负号)，其加速度可以表示成
$$\ddot{s}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\frac{d^2(x-l\times sin\psi )}{d{t}^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^{2}sin\psi }{d{t}^2})$$
$$=\ddot{x}-l\frac{cos\psi \frac{d\psi }{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2+cos\psi \frac{d^2\psi }{d{t}^2}]$$
更换符号后即可得到：
$$\ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi (\dot{\psi }{)}^2-lcos\psi (\ddot{\psi })$$
根据牛顿第二定律，此时摆质心的受力与加速度的关系为：
$$N=m\ddot{x}-(ml\ddot{\psi })cos\psi +ml\dot{{\psi }^2}sin\psi$$
联立关于倒立摆与小车的受力分析，替换掉相互作用力$N$，得到：
$$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi }cos\psi +ml{\dot{\psi }}^{2}sin\psi =F$$

对倒单摆的垂直受力分析

倒单摆的质心在一段时间内垂直方向上移动的距离可以表示成：$$h=lcos\psi$$
式中$\psi$为单摆绕轴心转动的角度。
摆的质心在垂直方向的加速度可以表示为（注意，此时加速度方向与重力方向一致）：
$$\ddot{h}=\frac{d^2(lcos\psi )}{d{t}^2}=l\frac{d(-sin\psi \frac{d\psi }{dt})}{dt}=-lcos\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2-lsin\psi (\frac{d^2\psi }{d{t}^2})$$
垂直方向有重力$mg$和小车对摆的支持力$P$，另外单摆会有一个与重力方向一致的加速度。
$$垂直向上的分量=垂直向下的分量$$
$$P=mg+m\ddot{h}$$
$$P=mg-mlcos\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2-mlsin\psi (\frac{d^2\psi }{d{t}^2})$$
替换符号之后可以得到：
$$P=mg-ml(cos\psi ){\dot{\psi }}^2-ml(sin\psi )\ddot{\psi }$$
假设摆受力不平衡，会有以铰链为圆心的角加速度，将$P$和$N$分别在转动方向上投影，根据倒单摆平衡时的力矩方程方程得到：
$$I\ddot{\psi }=Plsin\psi +Nlcos\psi$$
观察上面的式子，你可能会发现里面少了一个分量，这个分量就是重力在垂直于摆方向的分力$mgsin\psi$，很多博客和论文上也是直接这么写，没有解释原因。只有以质心为参考点时，重力不产生力矩，上式成立，但这显然是背离事实的，个人理解，这里在小角度时为了方便分析做了近似。
其中$I$为摆的转动惯量。将$P$和$N$的表达式与力矩平衡方程联立，消去中间变量$P$、$N$，得到：
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mglsin\psi =ml\ddot{x}cos\psi$$

线性化

至此，我们通过受力分析得到了两个非常重要的式子：
$$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi }cos\psi +ml{\dot{\psi }}^{2}sin\psi =F$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mglsin\psi =ml\ddot{x}cos\psi$$
考虑到倒单摆在实际工作时，偏转角$\psi$通常比较小，于是有：
$$\{\begin{array}{rlr}cos\psi & =& 1\\ sin\psi & =& \psi \\ \dot{\psi }& =& 0\end{array}$$
用$u$来代表作用于受控对象的外力$F$，结合上述近似结果，有：
$$\{\begin{array}{rlr}(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi }& =& u\\ (I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mgl\psi & =& ml\ddot{x}\end{array}$$

求系统传递函数

由上一节，我们最终得到了一个关于系统状态的微分方程组。而拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程进行运算，使求解大为简化。

$$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi }=u\to (M+m)X(s)s^2+bX(s)s-ml\Psi (s)s^2=U(s)$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mgl\psi =ml\ddot{x}\to (I+m{l}^2)\Psi (s)s^2-mgl\Psi (s)=mlX(s)s^2$$
现在我们系统的输入变量是$U(s)$，而我们关心的是小车当前的位置$X(s)$以及倒单摆的角度$\Psi (s)$
经过整理，可以得到下面的系统传递函数。
摆角度的传递函数：
$$P_{pend}(s)=\frac{\psi (s)}{U(s)}=\frac{mls}{q{s}^3+b(I+m{l}^2)s^2-(m+M)mgls-bmgl}$$
小车位置的传递函数：
$$P_{cart}(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{(I+m{l}^2)s^2-mgl}{q{s}^4+b(I+m{l}^2)s^3-(m+M)mgl{s}^2-bmgls}$$
上面两式中$q$为公因数项：
$$q=(m+M)(I+m{l}^2)-m^2{l}^2$$