三角形的五心_三角形面积相等的定律

全栈程序员-用户IM • 2022年8月5日下午1:00 • 未分类

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概述
1. 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。
2. 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆
内容
1. 重心
  1. 重心的概念
    1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
      
      如图，G为△ABC的重心
  2. 重心的性质
    1. 基本性质
      1. 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
      2. 证明1
        
        由共边定理得
        
        由蝴蝶定理得
        
        于是有
        
        由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
        
        同理可推得其他边的关系
      3. 证明2
        
        连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍
    2. 推论1
      1. 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心
        
        证明
        
        由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点
        
        同理可证其他中点
    3. 推论2
      1. $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
        
        证明
        
        倍长中线，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$\angle MBG = 90^{\circ}$
      2. $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，则$AG^2+BG^2=CG^2$
        
        证明
        
        由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得$AB=CG$，即可得证
    4. 推论3
      1. $G$为$\triangle ABC$中点，过$G$作$DE ∥BC$，$PF∥AC$，$KH∥AB$，则$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
        
        证明
        
        连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点
        
        由$DG∥CB$得$\frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$
        
        由相似得$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}$
    5. 推论4
      1. G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
        
        证明
        
        等边三角形四心合一点，得$△ABG$为$30°、30°、120°$型三角形，边之比为$1:1:\sqrt{3}$，故$GA=\frac{AB}{sqrt{3}}$
2. 垂心
3. 外心
4. 内心
5. 旁心