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性质
①
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D79/sign=2c5d6e81eb24b899da3c7b316f068e4e/77094b36acaf2edda7a90d688f1001e9380193d2.jpg)
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；
②
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；
③负数与零无对数.
④
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*
=1；
恒等式及证明
a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）
推导：log(a) (a^N)=N
恒等式证明
在a>0且a≠1，N>0时
设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕
运算法则
①
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②
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③
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(M,N∈R)
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的底。定义： 若
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则
基本性质：
1、
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2、
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3、
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D188/sign=0c265880af345982c18ae19a34f6310b/8d5494eef01f3a29b60e193a9b25bc315d607c04.jpg)
4、
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D126/sign=215749dde9c4b7453094b314f9fd1e78/0bd162d9f2d3572c3add53288813632762d0c303.jpg)
5、
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D130/sign=802cf98b7af0f736dcfe48023a54b382/0bd162d9f2d3572c3a9753288813632763d0c3c9.jpg)
推导：
1、因为
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，代入则
，即
。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
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由指数的性质
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又因为指数函数是单调函数，所以
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D184/sign=a7816cce324e251fe6f7e0f09387c9c2/962bd40735fae6cd9d3c65950db30f2443a70fbe.jpg)
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D176/sign=510af691b119ebc4c478729eb427cf79/7af40ad162d9f2d37f17ed1babec8a136227ccc4.jpg)
由指数的性质
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又因为指数函数是单调函数，所以
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D188/sign=17762dc4b8a1cd1101b676288113c8b0/c995d143ad4bd1139c5a7ec658afa40f4afb05ab.jpg)
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D133/sign=31d5494b8e5494ee83220b1a1ef4e0e1/c83d70cf3bc79f3d3ad72cc4b8a1cd11728b2914.jpg)
由指数的性质
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D128/sign=1fd6f1f78544ebf86971603de1f8d736/d1a20cf431adcbef02bfb6f2aeaf2edda2cc9fbf.jpg)
又因为指数函数是单调函数，所以
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D126/sign=d56362f9fadcd100c99cfc23448a47be/c995d143ad4bd1139d547fc658afa40f4afb05ad.jpg)
或
由基本性质2（展开
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D24/sign=f916d2bd0b2442a7aa0efaa1d1434204/bf096b63f6246b606b745a4aeff81a4c510fa292.jpg)
对数基本性质4推导过程
，如图所示）
对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
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推导如下： 由换底公式（见下面）[
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D22/sign=9ea2f4bf00087bf479ec50ebf3d387af/55e736d12f2eb9381867b106d7628535e5dd6f38.jpg)
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D37/sign=29d8b1cc6c061d957946313f79f48ad0/3801213fb80e7becd43ecb152d2eb9389a506b5a.jpg)
是
，e称作自然对数的底]
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换底公式的推导： 设
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D107/sign=2bf0b106d762853596e0d621a7ee76f2/bd3eb13533fa828b16be5617ff1f4134960a5aa1.jpg)
则
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D153/sign=c1f20536b0119313c343fbb556390c10/fcfaaf51f3deb48f1ee56a2af21f3a292cf578b2.jpg)
其中
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得：
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D111/sign=4269a72a3f6d55fbc1c672275c204f40/11385343fbf2b211f7ed4ebac88065380dd78e07.jpg)
由基本性质4可得
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D192/sign=0a0364944dc2d562f608d4e4d51090f3/a71ea8d3fd1f41342431cf8a271f95cad0c85ec4.jpg)
再由换底公式
![对数的计算公式[通俗易懂]](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D128/sign=9d862bc337fae6cd08b4af6337b20f9e/3812b31bb051f8198cb5c9bed8b44aed2f73e7b6.jpg)
换底公式
设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③
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③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/（lna）
推导公式
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
求导数
(xlogax)’=logax+1/lna
其中，logax中的a为底数，x为真数；
(logax)’=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)’=(lnx)’=1/x
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