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对数的计算公式[通俗易懂]

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对数的计算公式[通俗易懂]性质编辑①；②；③负数与零无对数.④*=1；恒等式及证明a^log(a)(N)=N(a>0，a≠1）推导：log(a)(a^N)=N恒等式证明在a>0且a≠1，N>0时设：当l

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性质编辑

①

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

；

②

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

；

③负数与零无对数.
④

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

*

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

=1；



恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）
推导：log(a) (a^N)=N
恒等式证明
在a>0且a≠1，N>0时
设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕


运算法则编辑

①

 
对数的计算公式[通俗易懂]
②

 
对数的计算公式[通俗易懂]
③

 
对数的计算公式[通俗易懂]
(M,N∈R)
如果

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，则m为数a的
自然对数，即

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

则

 
对数的计算公式[通俗易懂]
基本性质：
1、

 
对数的计算公式[通俗易懂]
2、

 
对数的计算公式[通俗易懂]
3、

 
对数的计算公式[通俗易懂]
4、

 
对数的计算公式[通俗易懂]
5、

 
对数的计算公式[通俗易懂]
推导：
1、因为

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，代入则

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，即

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

。

2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
对数的计算公式[通俗易懂]
由指数的性质
对数的计算公式[通俗易懂]
又因为指数函数是单调函数，所以
对数的计算公式[通俗易懂]
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
对数的计算公式[通俗易懂]

由指数的性质

对数的计算公式[通俗易懂]
又因为指数函数是单调函数，所以
对数的计算公式[通俗易懂]
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
对数的计算公式[通俗易懂]
由指数的性质
对数的计算公式[通俗易懂]
又因为指数函数是单调函数，所以
对数的计算公式[通俗易懂]
或
由基本性质2（展开

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，如图所示）

对数基本性质4推导过程
对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
对数的计算公式[通俗易懂]
推导如下： 由换底公式（见下面）[

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

是

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

，e称作自然对数的底]

对数的计算公式[通俗易懂]
换底公式的推导： 设

 
对数的计算公式[通俗易懂] 

则

对数的计算公式[通俗易懂]
其中

 
对数的计算公式[通俗易懂]
得：

 
对数的计算公式[通俗易懂]
由基本性质4可得

 
对数的计算公式[通俗易懂]
再由换底公式

 
对数的计算公式[通俗易懂]


换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③
对数的计算公式[通俗易懂]
③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/（lna）


推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1


求导数编辑

(xlogax)’=logax+1/lna
其中，logax中的a为底数，x为真数；
(logax)’=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)’=(lnx)’=1/x
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