【组合数求模】 转自AekdyCoin

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

大家都在中学阶段学习了组合数的定义:

这个表示的是从n个元素中选取m个元素的方案数。

(PS.组合数求模似乎只用在信息学竞赛和 ACM竞赛等计算机编程设计大赛中……,求在现实中的运用)

 

可以知道当n,m 取得比较大的时候，组合数可能很大很大 (天文数字？无法度量？)

例如 C(100, 50) = 100891344545564193334812497256, 于是计算机的 64位整数型已经没法阻止它了！C(1000000000, 500000000) ? C( 2^50000, 2^49999 ) ? (Note:这里^表示次方，你能计算得到2的50000次级别的组合数么？它有多少位？)

看起来似乎高精度神马的都无法阻止这个邪恶的函数的急速扩张了……

庆幸的是，在竞赛中我们能够遇到的规模也就只有10^9级别(显然是mod上某个数字K，否则输出的文件那叫一个大啊……)，这是多么的小呀呀呀呀！(Note: 相比较2^50000 -_-)

一．           入门篇：我会暴力！

(1)  K = 1: 今天你学数论了么？ 难度系数: 0

(2)  (K> 1) n, m <= 1000 (n * n 是可以接受的) 难度系数: 1

递推！

   c(n,m) =c(n – 1,m) + c(n – 1, m – 1)

某人: 555555 这个公式太复杂， 记忆不能！

c(5,2) = 10 = c(4,2) + c(4,1) = 6 + 4 ……

我们知道mod操作满足加法性质,即

(a + b) mod c = ( (a mod c) + (b mod c) ) mod c

c(n,m) = ( c(n – 1,m) + c(n – 1, m – 1) ) mod K

证明利用模的定义即可……很简单的

于是如此，我们只需要简单的开上一个 f[ N ][ N ],2个循环搞定！

其实我们遇到的大部分情况需要的 组合数 都可以用这个来搞定~

这里唯一可能被邪恶的其实是 K + K 溢出！ 所以如果某个邪恶的题目出到 K = 2*10^9，在某些倒霉的场合会出现2个接近K的int相加，那么就溢出了！不要忘记用unsigned int… (我从来没出过这种题的！真的！)

(3)   n 巨大(10^9 级别), m巨小(10^4级别), k 很小,大约10^9

a)     m<= 1: 今天你学数论了么？ 难度系数: 0

b)     m<= 10000     难度系数: 2

 

可以发现分子分母的项数都少到可以接受！于是我们可以采取各种方式来通过:

i)                   对于每个数字，分解素因子，合并，二分求幂！ (你会数论！)

ii)                 对于每个数字，只分解包含于K的素因子，例如K里面有一个素因子3，那么分解的时候我只考虑3呀，因为其他部分显然与3互质……最后统计3的次数即可……

例子:

计算C(10, 3) mod 36

C(10, 3) = (10 * 9 * 8) / (1 * 2 * 3)

对于分母:

1 : ok 逆元(有区别么？)

2: 没法逆元, (2, 36) = 2

3: 没法逆元, (3,36) = 3

为了神马啊！！ 还不让人逆元啊！显然是因为邪恶的2和3，如果他们不存在，那么多么美好呀！

于是我开2个变量，记录2,3的次数

对于分子:

10: 里面只有1个2，去掉了2，剩下的部分是 10 / 2 = 5. 

9: 里面只有2个3，去掉去掉， 剩下的是 9 / (3^2) = 1.

8: 里面只有3个2，去掉去掉,剩下的是 8 / (2^3) = 1

于是啊，分母我们把剩下的部分乘起来，得到了神马？得到了 和 2,3 因子完全无关的 部分mod 36的值！就是 5 * 1 * 1 = 5了。

接下来，还有分母呢

1: 逆元(其实你可以无视它)

2: 一个2，去掉去掉， 剩下1， 逆元继续是1(继续无视)

3: 一个3，同上

接下来发现，2有几个？ 分子有4个，分母1个，所以一共只有4 – 1 = 3个

3有几个？ 同上的做法，显然只有1个。

于是呢答案就是:

5 * 1 * 2^3 * 3^1 = 12( mod 36)

解释:

5 -> 分子除了因子2,3的积

1 ->分母除了因子2,3 的逆元的积

2^3 -> 最终统计发现有3个2

3^1 ->最终统计发现有1个3

请好好理解本例子，你会发现这个问题是如此的美妙！

经典例题:

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020 

c)     m<= n 别想了！我不会！你会了教我！难度系数: -1

二．           基础篇：我会数论！

1)     n,m<= 10^6, K是10^9级别

对于n! 分解素因子，这里就不说了，可以参考各种帖子。

之后保存个数，二分求幂啊啊啊啊啊

2)     n,m<= 10^10, k是素数，并且K 很小(比如几百?)

其实遇到这种情况我都用一个叫Lucas定理的东西。

 

ni,mi 就是把 n,m分解p进制的第i位的值。

例如:

                     计算 C(12, 4) mod 7

                     n = 12  (15)(base_7)

                     m = 4     (4) (base_7)

                     为了对齐，我们前面的部分补0

                     m = 4   (04) (base_7)

                     于是

                     Ans = C(5,4) * C(1,0) mod 7= 5 (mod 7)

                     有人又要问了, 如果mi > ni 怎么办呀？

                     直接为0！！！！！！！！！

              这里不给出证明，证明可以搜索到。同时由于这个应用的区域比较狭窄，显然有更简单，更好理解的算法，于是这里被无视了。

三．           究极篇

n,m <= 10^9, p <= 10^5

是不是怎么看怎么不可做呢？

第一次见到这种题目是不是觉得作者NC了，出个不可做题 >_<

第一次交发现一坨人全部WA,是不是觉得作者的数据搞疵？！！！！

 

首先要知道，这题其实等价是求:

 

求完直接合并一个模方程即可。(CRT)

p^c 的规模大约是10^5。

c 不是1，lucas阻止不了它。

n,m太大，因子分解也阻止不了它。

下面介绍我的做法:

假设 p = 3, c = 2，也就是mod 9

 

假设n = 19

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * …… * 19

要是可以快速得到 n! 中除掉3 以后 mod 9的结果，那么多好呀！

看3多讨厌，直接砍

type cal( int n) :

n! = [ 1 * 2 * 4 * 5 * 7 * 8 * …  * 16 * 17 * 19 ] * (3 * 6 * 9 * 12 * 15 * 18)= [ 1 * 2 * 4 * 5 * 7 * 8 * …  * 16 * 17* 19 ] * 3^6( 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6)

然后发现后面的一坨实际上是 cal( n / p) !!!!

再看前半部分，尼玛是以 p^c 为周期的啊！！！

[1 * 2 * 4 * 5 * 7 * 8 ] = [10 * 11 * 13 * 14 * 16 *17 ] = (mod 9)

于是说白了，对于前面的部分，由于周期，都是浮云了

下面是 孤立出来的19

可以知道孤立出来的 长度 不超过 p^c ,于是暴力啊，暴力啊！

于是完美解决n! 中和 p无关的项 mod p^c的值！！！

接下来是分母部分，一模一样，无非多了一个求逆元(因为都和p没关系了，逆元必然存在)

我们来分析一下，这样的复杂度是如何的呢

每次递归，规模变为原来的 1/p

logp N的啊！！！

当然是层数= =

于是问题完美解决！