大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
离散傅里叶变换公式推导
先抛变换公式：
F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − 2 π i m n / N ↔ f n = 1 N ∑ m = 0 N − 1 F m e 2 π i m n / N F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F_me^{2\pi imn/N} Fm=n=0∑N−1fne−2πimn/N↔fn=N1m=0∑N−1Fme2πimn/N
式中的N是数据点个数
讲道理一开始完全看不懂公式这么来的，一顿百度后我学到了很多，但就是没学到怎么推公式。好吧只能自己推。
先来看一下DFT的物理意义：
（图我网上随便下的）
离散傅里叶变换是把周期性离散信号变换到频域上，大家知道，周期信号变到频域上是离散的。离散就是在个别点 { x n } \{x_n\} {
xn}有值。我是学物理的，物理里面离散的可以这么表示：
f ( x ) = ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n) f(x)=n=0∑N−1fnδ(x−xn)
δ ( x ) \delta(x) δ(x)是个在 x = 0 x=0 x=0处无穷大，其余位置为0且全空间积分为1的函数 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1 ∫−∞∞δ(x)dx=1
周期性信号变到频域上，那不就是傅里叶级数吗。自然有公式
F m = ∫ − T T ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 ∫ f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m \begin{aligned} F_m &= \int_{-T}^{T}\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}\int f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \end{aligned} Fm=∫−TTn=0∑N−1fnδ(x−xn)e−ixkmdx=n=0∑N−1∫fnδ(x−xn)e−ixkmdx=n=0∑N−1fne−ixnkm
接下来我们假设 d x , d k dx,dk dx,dk分别是 { x n } \{x_n\} {
xn}, { k n } \{k_n\} {
kn}的间距，那么：
x n = n d x , k m = m d k x_n=ndx,\qquad k_m = mdk xn=ndx,km=mdk
代入上式：
F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i m n d x d k \begin{aligned} F_m &=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-imndxdk} \end{aligned} Fm=n=0∑N−1fne−ixnkm=n=0∑N−1fne−imndxdk
是不是和最上面的式子很接近了？还差最后一步，确定 d x d k dxdk dxdk的值。
下面我懒得写了，只说一下做法吧
- 先写出 F m F_m Fm到 f n f_n fn的逆变换，
f n = c ∑ n = 0 N − 1 F m e i m n d x d k f_n = c\sum_{n=0}^{N-1}F_me^{imndxdk} fn=cn=0∑N−1Fmeimndxdk
c c c是个系数，之后应该能计算出是 1 / N 1/N 1/N - 把上面的 F m F_m Fm表达式带进去,就能得到用 f n ′ f_{n’} fn′求和表达的 f n f_n fn,这要求 d x d k dxdk dxdk满足一定关系，其实就是满足 d x d k = 2 π N dxdk = \frac{2\pi}{N} dxdk=N2π
- 最后把公式里的 d x d k dxdk dxdk替换就完事了
这个公式推导倒是不难，主要问题是理解不要出现偏差。所谓离散傅里叶变换是把周期离散信号变换到周期离散频谱，这是真的离散信号。一开始我以为是连续信号在某些给定点采样得到的值呢（没有学过信号相关的内容，在计算物理中遇到了这个离散傅里叶变换）。
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