大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

2. 权值求解

2.1 代价函数（似然函数）

2.1.1 为什么损失函数不用最小二乘？即逻辑斯蒂回归损失函数为什么使用交叉熵而不是MSE？

4.3 从sigmoid函数到softmax函数的推导

5 为什么逻辑斯蒂回归的输出值可以作为概率

6 逻辑斯蒂回归是否可以使用其他的函数替代 sigmoid 函数

线性分类器：模型是参数的线性函数，分类平面是（超）平面；
非线性分类器：模型分界面可以是曲面或者超平面的组合。
典型的线性分类器有感知机，LDA，逻辑斯特回归，SVM（线性核）；
典型的非线性分类器有朴素贝叶斯（有文章说这个本质是线性的，http://dataunion.org/12344.html），kNN，决策树，SVM（非线性核）

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础 – 文墨 – 博客园

细品 – 逻辑回归（LR）* – ML小菜鸟 – 博客园

当你的目标变量是分类变量时，才会考虑逻辑回归，并且主要用于两分类问题。

1 LR

LR模型可以被认为就是一个被Sigmoid函数（logistic方程）所归一化后的线性回归模型！

逻辑回归(Logistic Regression, LR)模型其实仅在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数，但也就由于这个逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星，更是计算广告学的核心。

1.1 直观表述

机器学习算法（一）：逻辑回归模型（Logistic Regression, LR）[通俗易懂]

首先来解释一下的表示的是啥？它表示的就是将因变量预测成1（阳性）的概率，具体来说它所要表达的是在给定x条件下事件y发生的条件概率，而是该条件概率的参数。将它分解一下：

（1）式就是我们介绍的线性回归的假设函数，那（2）式就是我们的Sigmoid函数啦。

由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]。逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。为什么会用Sigmoid函数？因为它引入了非线性映射，将线性回归值域映射到0-1之间，有助于直观的做出预测类型的判断：大于等于0.5表示阳性，小于0.5表示阴性。

其实，从本质来说：在分类情况下，经过学习后的LR分类器其实就是一组权值，当有测试样本输入时，这组权值与测试数据按照加权得到

这里的就是每个测试样本的n个特征值。之后在按照Sigmoid函数的形式求出，从而去判断每个测试样本所属的类别。

由此看见，LR模型学习最关键的问题就是研究如何求解这组权值！

1.2 决策边界（Decision Boundary）

在LR模型中我们知道：当假设函数，即，此时我们预测成正类；反之预测为负类。由图来看，我们可以得到更加清晰的认识。下图为Sigmoid函数，也是LR的外层函数。我们看到当时，此时（即内层函数），然而此时也正是将y预测为1的时候；同理，我们可以得出内层函数时，我们将其预测成0(即负类)。

逻辑回归的假设函数可以表示为

， （和1.1节中的h不一样）

于是我们得到了这样的关系式：

下面再举一个例子，假设我们有许多样本，并在图中表示出来了，并且假设我们已经通过某种方法求出了LR模型的参数（如下图）。

根据上面得到的关系式，我们可以得到：

而我们再图像上画出得到：

这时，直线上方所有样本都是正样本y=1，直线下方所有样本都是负样本y=0。因此我们可以把这条直线成为决策边界。

同理，对于非线性可分的情况，我们只需要引入多项式特征就可以很好的去做分类预测，如下图：

值得注意的一点，决策边界并不是训练集的属性，而是假设本身和参数的属性。因为训练集不可以定义决策边界，它只负责拟合参数；而只有参数确定了，决策边界才得以确定。

2. 权值求解

2.1 代价函数（似然函数）

2.1.1 为什么损失函数不用最小二乘？即逻辑斯蒂回归损失函数为什么使用交叉熵而不是MSE？

面试题解答6：逻辑斯蒂回归为什么使用交叉熵而不是MSE – 知乎

从逻辑的角度出发，我们知道逻辑斯蒂回归的预测值是一个概率，而交叉熵又表示真实概率分布与预测概率分布的相似程度，因此选择使用交叉熵。
从MSE的角度来说，预测的概率与欧氏距离没有任何关系，并且在分类问题中，样本的值不存在大小关系，与欧氏距离更无关系，因此不适用MSE。

（1）原因一：损失函数的凸性（使用MSE可能会陷入局部最优）

前面我们介绍线性回归模型时，给出了线性回归的代价函数的形式（误差平方和函数），具体形式如下：

这里我们想到逻辑回归也可以视为一个广义的线性模型，那么线性模型中应用最广泛的代价函数-误差平方和函数，可不可以应用到逻辑回归呢？首先告诉你答案：是不可以的！那么为什么呢? 这是因为LR的假设函数的外层函数是Sigmoid函数，Sigmoid函数是一个复杂的非线性函数，这就使得我们将逻辑回归的假设函数带入上式时，我们得到的是一个非凸函数，如下图：

这样的函数拥有多个局部极小值，这就会使得我们在使用梯度下降法求解函数最小值时，所得到的结果并非总是全局最小，而有更大的可能得到的是局部最小值。这样解释应该理解了吧。

以 MSE 为损失函数的逻辑斯蒂回归就是一个非凸函数，如何证明这一点呢，要证明一个函数的凸性，只要证明其二阶导恒大于等于0即可，如果不是恒大于等于0，则为非凸函数。

让我们对上文中求得的 MSE 一阶导数继续求二阶导：

我们知道真实 label yi 只能取1和0，当yi=1时，上式取值范围为(-4,3)，当yi=0时，上式取值范围为(-3,2)，因此二阶导不恒大于等于0，因此MSE损失函数为非凸函数。

（2）原因二：MSE 的损失小于交叉熵的损失，导致对分类错误的点的惩罚不够

平方损失在训练的时候会出现一定的问题。当预测值与真实值之间的差距过大时，这时候参数的调整就需要变大，但是如果使用平方损失，训练的时候可能看到的情况是预测值和真实值之间的差距越大，参数调整的越小，训练的越慢。

如果使用平方损失作为损失函数，损失函数如下

其中表示真实值，表示预测值。

对参数求梯度

由此可以看出，参数除了跟真实值与预测值之间的差距有关外，还和激活函数的该点的导数有关，跟激活函数的梯度成正比，常见的激活函数是函数，当这个点越靠近上边或者下边的时候梯度会变得非常小，这样会导致当真实值与预测值差距很大时，参数变化的非常缓慢，与我们的期望不符合。

而使用交叉熵损失在更新参数的时候，当误差越大时，梯度也就越大，参数调整也能更大更快。

2.1.2 代价函数

虽然前面的解释否定了我们猜想，但是也给我们指明了思路，那就是我们现在要做的就是为LR找到一个凸的代价函数！在逻辑回归中，我们最常用的损失函数为对数损失函数，对数损失函数可以为LR提供一个凸的代价函数，有利于使用梯度下降对参数求解。为什么对数函数可以做到这点呢？我们先看一下对数函数的图像：

蓝色的曲线表示的是对数函数的图像，红色的曲线表示的是负对数的图像，该图像在0-1区间上有一个很好的性质，如图粉红色曲线部分。在0-1区间上当z=1时，函数值为0，而z=0时，函数值为无穷大。这就可以和代价函数联系起来，在预测分类中当算法预测正确其代价函数应该为0；当预测错误，我们就应该用一个很大代价（无穷大）来惩罚我们的学习算法，使其不要轻易预测错误。这个函数很符合我们选择代价函数的要求，因此可以试着将其应用于LR中。对数损失在LR中表现形式如下：

对于惩罚函数Cost的这两种情况：

给我们的直观感受就是：当实际标签和预测结果相同时，即y和同时为1或0，此时代价最小为0；当实际标签和预测标签恰好相反时，也就是恰好给出了错误的答案，此时惩罚最大为正无穷。现在应该可以感受到对数损失之于LR的好了。

为了可以更加方便的进行后面的参数估计求解，我们可以把Cost表示在一行：

这与我们之前给出的两行表示的形式是等价的。因此，我们的代价函数最终形式为：

该函数是一个凸函数，这也达到了我们的要求。这也是LR代价函数最终形式。

2.2 似然函数的求解-梯度下降

代价函数的求导过程

Sigmoid函数的求导过程：

故，sigmoid函数的导数

损失函数梯度求解过程：

故，参数更新公式为：

3 加入正则项

3.1 正则解释

正则：机器学习中正则化项L1和L2的直观理解_阿拉丁吃米粉的博客-CSDN博客_l1 l2正则化

此时的w为。

对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

此时加入的正则化项，是解决过拟合问题。

下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项。

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

3.2 L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

3.2.1 L1正则化和特征选择

稀疏模型与特征选择：

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=，则J=J0+LJ，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1、w2的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中0J与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

3.2.2 L2正则化和过拟合

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。

L2正则化参数：

从公式5可以看到，λ越大，θj衰减得越快。另一个理解可以参考图2， λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

4 如何用逻辑回归处理多标签问题

逻辑斯蒂回归本身只能用于二分类问题，如果实际情况是多分类的，那么就需要对模型进行一些改动，以下是三种比较常用的将逻辑斯蒂回归用于多分类的方法：

4.1 One vs One

OvO 的方法就是将多个类别中抽出来两个类别，然后将对应的样本输入到一个逻辑斯蒂回归的模型中，学到一个对这两个类别的分类器，然后重复以上的步骤，直到所有类别两两之间都存在一个分类器。

假设存在四个类别，那么分类器的数量为6个，表格如下：

分类器的数量直接使用就可以了，k 代表类别的数量。

在预测时，需要运行每一个模型，然后记录每个分类器的预测结果，也就是每个分类器都进行一次投票，取获得票数最多的那个类别就是最终的多分类的结果。

比如在以上的例子中，6个分类器有3个投票给了类别3，1个投票给了类别2，1个投票给类别1，最后一个投票给类别0，那么就取类别3为最终预测结果。

OvO 的方法中，当需要预测的类别变得很多的时候，那么我们需要进行训练的分类器也变得很多了，这一方面提高了训练开销，但在另一方面，每一个训练器中，因为只需要输入两个类别对应的训练样本即可，这样就又减少了开销。

从预测的角度考虑，这种方式需要运行的分类器非常多，而无法降低每个分类器的预测时间复杂度，因此预测的开销较大。

4.2 One vs All

针对问题：一个样本对应多个标签。

OvA 的方法就是从所有类别中依次选择一个类别作为1，其他所有类别作为0，来训练分类器，因此分类器的数量要比 OvO 的数量少得多。

通过以上例子可以看到，分类器的数量实际上就是类别的数量，也就是k。

虽然分类器的数量下降了，但是对于每一个分类器来说，训练时需要将所有的训练数据全部输入进去进行训练，因此每一个分类器的训练时间复杂度是高于 OvO 的。

从预测的方面来说，因为分类器的数量较少，而每个分类器的预测时间复杂度不变，因此总体的预测时间复杂度小于 OvA。

预测结果的确定，是根据每个分类器对其对应的类别1的概率进行排序，选择概率最高的那个类别作为最终的预测类别。

4.3 从sigmoid函数到softmax函数的推导

针对问题：一个样本对应一个标签。

第三种方式，我们可以直接从数学上使用 softmax 函数来得到最终的结果，而 softmax 函数与 sigmoid 函数有着密不可分的关系，它是 sigmoid 函数的更一般化的表示，而 sigmoid 函数是 softmax 函数的一个特殊情况。

分子代表的是一件事发生的概率，分母代表这件事以外的事发生的概率，两者的和为1。

当我们面对的情况是多个分类时，可以让 k-1 个类别分别对剩下的那个类别做回归，即得到 k-1 个 logit 公式：

然后对这些公式稍微变个型，可得：

由于我们知道所有类别的可能性相加为1，因此可以得到：

通过解上面的方程，可以得到关于某个样本被分类到类别的概率：

这就是我们所了解的 softmax 函数了。

5 为什么逻辑斯蒂回归的输出值可以作为概率

指数分布族函数与广义线性模型（Generalized Linear Models，GLM）_意念回复的博客-CSDN博客_广义线性模型连接函数

面试题解答：为什么逻辑斯蒂回归的输出值可以作为概率 – 知乎

因为逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）的 sigmoid 函数是符合广义线性模型（General Linear Model）的伯努利分布（Bernoulli Distribution）的规范联系函数（Canonical Link Function）的反函数，sigmoid 函数将线性函数映射到伯努利分布的期望。

在刚开始学习机器学习的时候，很多教材会告诉你，在逻辑斯蒂回归中，我们使用 sigmoid 函数将预测值从实数域转换为(0,1)区间内，而这可以代表该预测值为正类或为负类的概率。

这样的表达方式，让初学者很容易陷入一个误区，即当我们将其转换为(0,1)区间后，就可以代表概率了，这是不太恰当的。通过对广义线性模型的研究，发现是因为 sigmoid 函数将实数域转换为了概率，所以其值落在(0,1)区间之内。

下面将详细地说明，为什么中，使用 sigmoid 函数，就可以得到概率。

首先，给出一个问题推导和本文行文思路的图，看不懂的时候可以参考下图：