大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一、整数规划

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1、整数规划概念

线性规划 使用 单纯形法求解 , 线性规划中的 运输规划 使用 表上作业法 求解 ;

之前讨论的都是线性规划问题 , 非线性规划如何求解 , 没有给出具体的方法 ;

整数规划问题 : 要求 一部分 或 全部 决策变量 取值整数 的规划问题 , 称为整数规划 ;

整数规划问题的松弛问题 : 不考虑 整数变量条件 , 剩余的 目标函数 和 约束条件 构成的线性规划问题 称为 整数规划问题的松弛问题 ;

整数线性规划 : 如果上述 整数规划问题的松弛问题 是线性规划 , 则称该整数规划为 整数线性规划 ;

整数规划与之前的线性规划多了一个约束条件 , 变量大于等于 $0$ , 并且都是整数 ;

整数线性规划数学模型一般形式 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\sum }_{\mathrm{j}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{m})\\ \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\ge 0(\mathrm{j}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})部分或全部为整数\end{array}\end{array}$

2、整数规划分类

整数线性规划分为以下几类 : ① 纯整数线性规划 , ② 混合整数线性规划 , ③ 0-1 型整数线性规划 ;

① 纯整数线性规划 : 全部决策变量都 必须取值整数 的 整数线性规划 ;

② 混合整数线性规划 : 决策变量中有一部分 必须 取整数值 , 另一部分 可以不 取值整数值 的 整数线性规划 ;

③ 0-1 型整数线性规划 : 决策变量 只能取值 $0$ 或 $1$ 的整数线性规划 ;

二、整数规划示例

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资金总额 $\mathrm{B}$ , 有 $n$ 个投资项目 , 项目 $j$ 所需的投资金额 是 $a_j$ , 预期收益是 $c_j$ , $j=1,2,\cdots ,n$ ;

投资还有以下附加条件 :

① 如果投资项目 $1$ , 必须投资项目 $2$ ; 反之如果投资项目 $2$ , 没有限制 ;

② 项目 $3$ 和 项目 $4$ 必须至少选 $1$ 个 ;

③ 项目 $5,6,7$ 只能选择 $2$ 个 ;

决策变量分析 : 选择合适的 决策变量 与 决策变量取值 ;

选取变量 , 使得变量的一组取值 , 能更好对应线性规划问题的解决方案 ;

每个项目有对应的两个选择 , 投资 / 不投资 , 分别使用 $1$ 和 $0$ 表示 ;

令 $x_j$ 表示第 $j$ 个项目的投资选择 , 投资 $1$ , 不投资 $0$ ; ( $j=1,2,\cdots ,n$ )

投资额约束条件 : 所有的投资总额不能超过 $\mathrm{B}$ , ${\sum }_{j=1}^n{a}_j{x}_j\le B$ ;

分析条件 ① : 投资项目 $1$ , 必须投资项目 $2$ , 此时 $x_1=x_2=1$ ; 投资项目 $2$ 可以投资项目 $1$ , 可以不投资项目 $1$ , 同时投资的情况上面已经分析过 , 分析后者 $x_1=1,x_2=0,此时x_1>x_2$ ; 综合上述两种情况就有 $x_2\ge x_1$ ;

分析条件 ② : 项目 $3$ 和 项目 $4$ 必须至少选 $1$ 个 , 两者选择一个 , 或者都选择 , 二者相加之和是 $1$ 或 $2$ ; 有约束方程 $x_3+x_4\ge 1$ ;

分析条件 ③ : 项目 $5,6,7$ 只能选择 $2$ 个 , 则三者相加等于 $2$ 即可 ; 约束方程 $x_5+x_6+x_7=2$ ;

投资问题可以表示为以下线性规划 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\le \mathrm{B}\\ \\ {\mathrm{x}}_2\ge {\mathrm{x}}_1\\ \\ {\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4\ge 1\\ \\ {\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6+{\mathrm{x}}_7=2\\ \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}=0,1(\mathrm{j}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})\end{array}\end{array}$

根据 【运筹学】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是 整数线性规划 ;

上述整数线性规划 的 松弛问题 是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解 , 求出最优解后 , 可能是小数 , 那么如何得到整数问题的最优解 , 不能进行简单的四舍五入 ;

三、整数规划解决的核心问题

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给出 整数规划问题 ,

先求该 整数规划的松弛问题 的解 ,

松弛问题就是不考虑整数约束 , 将整数线性规划当做普通的线性规划 , 使用单纯形法求出其最优解 ;

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个值 , 可能 不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据 整数规划问题的的松弛问题 的最优解 , 如何找其 整数规划问题 的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

四、整数规划问题解的特征

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整数规划问题解的特征 :

① 整数规划问题 与 松弛问题 可行解集合关系 : 整数规划问题 可行解集合 , 是该整数规划问题的 松弛问题 可行解集合 的子集 , 任意两个可行解的 凸组合 , 不一定满足整数约束条件 , 不一定是可行解 ;

② 整数规划问题 与 松弛问题 最优解关系 : 整数规划问题的可行解 一定是 其 松弛问题的可行解 , 松弛问题的可行解不一定是整数规划问题的可行解 , 整数规划问题的最优解 不会优于 松弛问题的最优解 ;

松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 ” 约束变量必须都是整数 ” ;

五、整数规划问题 与 松弛问题 示例

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假设有如下整数规划问题 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0并且为整数\end{array}\end{array}$

上述整数规划问题对应的松弛问题 : 松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 ” 约束变量必须都是整数 ” ;

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

使用图解法 , 解上述 松弛问题 的最优解为 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=\frac{3}{2}\\ \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{10}{3}\end{array}$

此时目标函数值 $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{29}{6}$

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个点 , 如上图的四个红色点 , 都不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据 整数规划问题的的松弛问题 的最优解 , 如何找其 整数规划问题 的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

穷举法 ( 有局限性 ) : 直接看上图中可行域内的整数点 , 然后再逐一代入目标函数 , 得到一个 整数规划问题 的最优解 , 但是这种方法无法推广应用 , 如果点的个数比较多 , 如几万个 , 变量的维数多 , 如 $10$ 个约束变量 , 这种方法肯定不适用 ;

整数规划问题的求解方法有 : ① 分支定界法 , ② 割平面法 ;

推荐使用 分支定界法 ;

六、分支定界法

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1、整数规划概念

分支定界法相关概念 :

分支 : 将一个问题不断细分为 若干子问题 , 之后逐个讨论子问题 ;

定界 : 分支很多的情况下 , 需要讨论的情况也随之增多 , 这里就需要定界 , 决定在什么时候不在进行分支 ; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一 , 就可以进行定界 ;

定界的作用是 剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ;

2、分支定界法求解整数规划步骤

分支定界法求解整数规划步骤 :

( 1 ) 求 整数规划 的 松弛问题 最优解 :

如果 该 最优解就 是整数 , 那么得到整数规划最优解 ;

如果 该 最优解 不是整数 , 那么转到下一个步骤 分支 与 定界 ;

( 2 ) 分支 与 定界 :

任选一个 非整数解变量 $x_i$ , 在 松弛问题 中加上约束 :

$x_i\le [x_i]$ 和 $x_i\ge [x_i]+1$

形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ;

上述分支 , 分的越细致 , 限制条件越多 , 同时 最优解的质量就越差 ;

新的分支松弛问题特征 :

• 原问题求 最大值 时 , 目标值 是 分支问题 的上界 ;

• 原问题求 最小值 时 , 目标值 是 分支问题 的下界 ;

分支 $1$ 的最优解是 $x^{\ast }$ , 将最优解代入目标函数后得到最优值 $f_1$ ;

分支 $2$ 的最优解是 $y^{\ast }$ , 将最优解代入目标函数后得到最优值 $f_2$ ;

如果目标函数求最大值 , 那么就讨论 $f_1,f_2$ 谁更大 ;

检查 分支松弛问题 的 解 及 目标函数值 :

① 得到最优整数解 : 如果该分支的 解 是 整数 , 并且 目标函数值 大于等于 其它分支的目标值 , 则剪去其它分支 , 停止计算 ;

② 没有得到最优整数解 : 如果该分支的 解 是 小数 , 并且 目标函数值 大于 整数解的目标值 , 需要 继续进行分支 , 直到得到最优解 ;

3、分支定界理论分析

假设考虑 分支 $1$ 松弛问题 , 每次都要给问题找到一个界 , 开始先使用观察法找到一个界 , 找到一个整数解 $f$ , 将该解代入目标函数 , 然后在 不断地计算中, 修改该界 ;

假设 分支 $1$ 松弛问题 目标函数 求最大值 ,

如果求解 分支 $1$ 松弛问题 最优解 恰好也是一个整数解 $f_0$ , 如果 $f_0>f$ , 此时需要重新定界 , 将 $f_0$ 作为新的界来讨论 ;

根据新的界来看 分支 $2$ 松弛问题是否需要讨论 , 求出 分支 $2$ 的最优解 对应的 目标函数最优值 $f^{\ast }$ ;

如果 分支 $2$ 的最优值 小于 分支 $1$ 的最优值 $f^{\ast }\le f^0$ , 此时分支 $2$ 不用再进行分支了 , 再进行分支 , 其最优值会越来越差 ;

定界法的作用是将不符合条件的分支剪去 ;

七、分支过程示例

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如上篇博客 【运筹学】整数规划 ( 整数规划问题解的特征 | 整数规划问题 与 松弛问题 示例 ) 中 , 求解如下 整数规划 解 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0并且为整数\end{array}\end{array}$

其对应的松弛问题是 : 去掉整数解限制 ;

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

分支都是基于松弛问题进行的 , 为松弛问题分支 , 组成两个新的松弛问题 ;

下图是求解结果 ( 图解法 ) :

最优解 $x_1=\frac{3}{2}$ , 分别为 $x_1$ 添加 $x_i\le [x_i]$ 和 $x_i\ge [x_i]+1$ 约束 , 形成两个新的线性规划 ;

分支 $1$ 整数规划 : 添加 $x_i\le [x_i]$ 约束 , 即 $x_1\le 1$ ;

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

分支 $2$ 整数规划 : 添加 $x_i\ge [x_i]+1$ 约束 , 即 $x_1\ge 2$ ;

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}14{\mathrm{x}}_1+9{\mathrm{x}}_2\le 51\\ \\ -6{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

这样就将一个线性规划 , 分解成了两个问题分支 , 分别找两个分支问题的所有整数解 ;

整数规划的整数解 , 肯定在上述两个分支之一中 , 中间将一部分可行域排除在外了 , 就是下图中两个红色箭头之间的可行域部分 , 被排除掉的部分肯定没有整数解 , 都是小数 ;

八、分支定界法求整数规划示例

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1、分支定界法求整数规划示例

使用 分支定界法 求如下整数规划 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0并且为整数\end{array}\end{array}$

2、求整数规划的松弛问题及最优解

求上述整数规划 ( $\mathrm{I}\mathrm{P}$ ) 的松弛问题 ( $\mathrm{L}\mathrm{P}$ ) : 去掉整数限制即可得到一个一般的线性规划 ;

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

可以使用单纯形法求上述线性规划的最优解 , 本次使用图示法 , 求的最优化 ;

使用图示法解得上述 松弛问题 最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=\frac{18}{11}\approx 1.64\\ \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{40}{11}\approx 3.64\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-\frac{218}{11}\approx -19.8$

如果上述 松弛问题 最优解 是整数 , 则该整数线性规划的最优解就是 松弛问题 的最优解 ;

上述 松弛问题 $\mathrm{L}\mathrm{P}$ 最优解不是整数 , 这里需要进行 分支 操作 , 分成两个 分支松弛问题 $\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 和 $\mathrm{L}\mathrm{P}2$ ;

3、第一次分支操作

分支操作 : 任选一个 非整数解变量 $x_i$ , 在 松弛问题 中加上约束 , $x_i\le [x_i]$ 和 $x_i\ge [x_i]+1$ , 形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ;

选择 非整数取值的变量 $x_1=\frac{18}{11}\approx 1.64$ , 作为分支变量 ,

$x_i\le [x_i]$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_1\le 1$ ;

$x_i\ge [x_i]+1$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_1\ge 2$ ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支松弛问题中加入 $x_1\le 1$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 1\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

求上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=1\\ \\ {\mathrm{x}}_2=3\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-16$

$\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支的界就是 $-16$ ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 分支松弛问题中加入 $x_1\ge 2$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

求上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 分支的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=2\\ \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{10}{3}\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-\frac{56}{3}\approx -18.7$

$\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 分支的目标值是 $-18.7$ ;

$\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支的最优解时整数 , 界 是 $-16$ ,

$\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 分支目标值还不是整数 , 因此需要继续分支 ;

判定某个分支 松弛问题 是否继续向下分支的依据 :

① 根据整最优解是否是整数判定 : 首先看 分支 松弛问题 最优解 是否是整数 , 如果是那就停下来 , 如果不是继续向下分支 ;

② 根据界的优劣判定 ( 定界思想 ) : 是否继续向下分支 , 还需要看 界 的值 , 通过该 界 的值 , 讨论是否继续向下分支 ;

• 分支条件 : 如果 本分支的界 比 另外一个分支的界 要好 , 则继续分支下去 ;
• 不分支条件 : 如果本分支的界比另外一个分支的界差 , 那么本分支就不再向下分支了 ;

4、第二次分支操作

$\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 继续向下分支 , $x_1$ 变量已经是整数变量了 ,

这里 选择 非整数取值的变量 $x_2=\frac{10}{3}\approx 3.33$ , 作为分支变量 ,

$x_i\le [x_i]$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_2\le 3$ ;

$x_i\ge [x_i]+1$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_2\ge 4$ ;

这里得到了 $\mathrm{L}\mathrm{P}2$ 分支下的两个 分支松弛问题 $\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 和 $\mathrm{L}\mathrm{P}22$ ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 分支松弛问题中加入 $x_2\le 3$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_2\le 3\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

求上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 分支的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=\frac{12}{5}=2.4\\ \\ {\mathrm{x}}_2=3\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-17.4$

$\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 分支的最优解不是整数 , 而且比 $\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支的界 $-16$ 要好 , 可需要继续分支 ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}22$ 分支松弛问题中加入 $x_2\ge 4$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_2\ge 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}22$ 分支 没有可行解 , 直接停止 ;

5、第三次分支操作

$\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 继续向下分支 ,

这里 选择 非整数取值的变量 $x_1=\frac{12}{5}=2.4$ , 作为分支变量 ,

$x_i\le [x_i]$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_1\le 2$ ;

$x_i\ge [x_i]+1$ 对应的 分支新增约束条件是 $x_1\ge 3$ ;

这里得到了 $\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 分支下的两个 分支松弛问题 $\mathrm{L}\mathrm{P}211$ 和 $\mathrm{L}\mathrm{P}212$ ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}211$ 分支松弛问题中加入 $x_1\le 2$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 2\\ \\ {\mathrm{x}}_2\le 3\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

求上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}211$ 分支的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=2\\ \\ {\mathrm{x}}_2=3\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-17$

$\mathrm{L}\mathrm{P}21$ 分支的最优解是整数 , 而且比 $\mathrm{L}\mathrm{P}1$ 分支的界 $-16$ 要好 , 是当前最好的 界 ;

因此这里将 界 更新为 $-17$ ;

在 $\mathrm{L}\mathrm{P}212$ 分支松弛问题中加入 $x_1\ge 3$ 条件后为 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\ge -2\\ \\ 5{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_2\le 30\\ \\ {\mathrm{x}}_1\le 4\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 2\\ \\ {\mathrm{x}}_1\ge 3\\ \\ {\mathrm{x}}_2\le 3\\ \\ {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\ge 0\end{array}\end{array}$

求上述 $\mathrm{L}\mathrm{P}212$ 分支的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=3\\ \\ {\mathrm{x}}_2=2.5\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-15.5$

定界 : $\mathrm{L}\mathrm{P}212$ 分支的最优解不是整数 , 其目标值 $-15.5$ 要比当前的界 $-17$ 要差 , 因此该分支直接裁减掉 ;

6、整数规划最优解

该整数规划 $\mathrm{I}\mathrm{P}$ 的最优解 $\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=2\\ \\ {\mathrm{x}}_2=3\end{array}$ , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-{\mathrm{x}}_1-5{\mathrm{x}}_2=-17$

分支记录如下 :