详细阐述基于时间的反向传播算法（Back-Propagation Through Time,BPTT）「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

上一节我们说了详细展示RNN的网络结构以及前向传播，在了解RNN的结构之后，如何训练RNN就是一个重要问题，训练模型就是更新模型的参数，也就是如何进行反向传播，也就意味着如何对参数进行求导。本篇内容就是详细介绍RNN的反向传播算法，即BPTT。

首先让我们来用动图来表示RNN的损失是如何产生的，以及如何进行反向传播，如下图所示。

上面两幅图片，已经很详细的展示了损失是如何产生的，以及如何来对参数求导，这是忽略细节的RNN反向传播流程，我相信已经描述的非常清晰了。下图(来自trask)描述RNN详细结构中反向传播的过程。

有了清晰的反向传播的过程，我们接下来就需要进行理论的推到，由于符号较多，为了不至于混淆，根据下图，现标记符号如表格所示：

公式符号表
符号	含义
	输入向量的大小（one-hot长度，也是词典大小）
	输入的每一个序列的长度
	隐藏层神经元的个数
$X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3}....,x_{T} \right \}$	样本集合
$x_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第时刻的输入
$y_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第时刻经过Softmax层的输出。
$\hat{y}_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第时刻输入样本的真实标签
$L_{t}$	第时刻的损失函数，使用交叉熵函数， $L_t=-\hat{y}_t^Tlog(y_t)$
	序列对应的损失函数: $L=\sum\limits_t^T L_t$ RNN的反向传播是每处理完一个样本就需要对参数进行更新，因此当执行完一个序列之后，总的损失函数就是各个时刻所得的损失之和。
$s_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	第个时刻RNN隐藏层的输入。
$h_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	第t个时刻RNN隐藏层的输出。
$z_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	输出层的输入，即Softmax函数的输入
$W\epsilon \mathbb{R}^{H\times K}$	输入层与隐藏层之间的权重。
$U\epsilon \mathbb{R}^{H\times H}$	上一个时刻的隐藏层与当前时刻隐藏层之间的权值。
$V\epsilon \mathbb{R}^{K\times H}$	隐藏层与输出层之间的权重。

$\begin{matrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; s_t=Uh_{t-1}+Wx_t+b\\ \\ h_t=\sigma(s_t)\\ \\ \; \; \; \; z_t=Vh_t+c\\ \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_t=\mathrm{softmax}(z_t) \end{matrix}$

我们对参数求导比较方便，只有每一时刻的输出对应的损失与相关，可以直接进行求导，即：

$\frac{\partial L}{\partial V} =\sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial V} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial z_{t}} \frac{\partial z_{t}}{\partial V} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}(\hat{ y}_{t}-y_{t}) (h_{t})^T$

$\frac{\partial L}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial z_{t}} \frac{\partial z_{t}}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}y_{t} - \hat{y}_{t}$

要对参数进行更新，就不那么容易了，因为参数虽是共享的，但是他们不只是对第刻的输出做出了贡献，同样对时刻隐藏层的输入 $s_{t+1}$ 做出了贡献，因此在对参数求导的时候，需要从后向前一步一步求导。

假设我们在对时刻的参数求导，我们利用链式法则可得出：

$\frac{\partial L}{\partial W}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial W}$

$\frac{\partial L}{\partial U}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial U}$

$\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial b}$

我们发现对进行求导的时候，都需要先求出 $\frac{\partial L}{\partial h_{t}}$ ，因此我们设：

$\delta ^{t}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}=\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}+\frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}$

那么我们现在需要先求出 $\delta ^{t}$ ，则：

$\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}=V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})$

$\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}=U^{T}\delta ^{t+1}\odot \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ =U^{T}diag(\delta ^{t+1}) \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ =U^{T}diag(\sigma ^{'}(z_{t+1}))\delta ^{t+1} \\ \\ =U^{T}diag(1-h_{t+1}^{2})\delta ^{t+1} \end{matrix}$

注：在求解激活函数导数时，是将已知的部分求导之后，然后将它和激活函数导数部分进行哈达马乘积。激活函数的导数一般是和前面的进行哈达马乘积，这里的激活函数是双曲正切，用矩阵中对角线元素表示向量中各个值的导数，可以去掉哈达马乘积，转化为矩阵乘法。

则：

$\begin{matrix} \delta ^{t}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}=\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}+\frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}\\ \\\: \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})+U^{T}\delta ^{t+1}\odot \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \; =V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})+U^{T}\delta ^{t+1} (1-h_{t+1}^{2}) \end{matrix}$

我们求得 $\delta ^{t}$ ，之后，便可以回到最初对参数的求导，因此有：

$\frac{\partial L}{\partial W} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial W} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(x_{t})^T$

$\frac{\partial L}{\partial b}= \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial b} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}$

$\frac{\partial L}{\partial U} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial U} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(h_{t-1})^T$

有了各个参数导数之后，我们可以进行参数更新：

$W^{'}=W-\theta \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(x_{t})^T$

$U^{'}=U-\theta \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(h_{t-1})^T$

$V^{'}=V-\theta \sum\limits_{t=1}^{T}(\hat{ y}_{t}-y_{t}) (h_{t})^T$

$b^{'}=b-\theta \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}$

$c^{'}=c- \theta \sum\limits_{t=1}^{T}y_{t} - \hat{y}_{t}$

参考：

刘建平《循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法》

李弘毅老师《深度学习》

发布者：全栈程序员-用户IM，转载请注明出处：https://javaforall.cn/152338.html原文链接：https://javaforall.cn

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