大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
群
从本质上来看，群=非空集合+二元运算，群的定义主要包括四个方面：
- 封闭性：二元运算的定义就可以满足这个性质
- 结合律：可以确保多个元素运算时得到唯一的结果，不受运算先后的影响，从而有
(或na)的表达式 - 单位元：唯一
- 逆元：任意元素均有且唯一
特殊的群为循环群；
群举例：Z（加法）；Zn(加法)
明确了群的定义后，我们接着了解群的各类特殊子群的定义和性质：
子群H=群G的子集合+二元运算；一个子群H可以确定若干个陪集；|陪集个数|*|H|=|G|
正规子群的定义十分重要，要求ah∈H，其中h∈H，a∈G；随之而来的是商群G/H；
补充:共轭的概念；自同构；同构；同态；
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环
从本质上看，环=加法交换群+乘法结合律+加法乘法分配律；（简记为一个半群）
环根据四个要素分为不同类型的环（从而具有更特殊的性质）
- 单位元（乘法）->单位元环
- 交换律（乘法）->交换环
- 零因素
- 非零元素的乘法逆元
得到的特殊类型环：整环（环+1+2+3）；除环（环+1+3+4）；域（除环+2=环+1+2+3+4）
！！！（敲重点）有限整环都是有限域
明确了环和特殊环的定义后，现在着重研究下子环的特点和性质
子环与子群的概念是类似的；子环中特殊的为理想，相当于群中的正规子群，相应的有，环R/理想I为商环
理想也可以分为素理想、 极大理想、 主理想等；
重要定理：对于一个带有单位元的交换环R而言，有
- 理想M是极大理想<=>R/M是域
- 理想P是素理想<=>R/P是整环
- 极大理想都是素理想
- 当R是一个主理想环，R/(c)是域<=>c为素数
补充：环的特征，实质就是环的加法运算中使最少个任何数为0的对应的数，为素数或0；交换环中利用环的特征有一系列公式。
同群类似，环也有相应的针对两个运算的同态 同构 自同构的概念；
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