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群
从本质上来看,群=非空集合+二元运算,群的定义主要包括四个方面:
- 封闭性:二元运算的定义就可以满足这个性质
- 结合律:可以确保多个元素运算时得到唯一的结果,不受运算先后的影响,从而有(或na)的表达式
- 单位元:唯一
- 逆元:任意元素均有且唯一
特殊的群为循环群;
群举例:Z(加法);Zn(加法)
明确了群的定义后,我们接着了解群的各类特殊子群的定义和性质:
子群H=群G的子集合+二元运算;一个子群H可以确定若干个陪集;|陪集个数|*|H|=|G|
正规子群的定义十分重要,要求ah∈H,其中h∈H,a∈G;随之而来的是商群G/H;
补充:共轭的概念;自同构;同构;同态;
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环
从本质上看,环=加法交换群+乘法结合律+加法乘法分配律;(简记为一个半群)
环根据四个要素分为不同类型的环(从而具有更特殊的性质)
- 单位元(乘法)->单位元环
- 交换律(乘法)->交换环
- 零因素
- 非零元素的乘法逆元
得到的特殊类型环:整环(环+1+2+3);除环(环+1+3+4);域(除环+2=环+1+2+3+4)
!!!(敲重点)有限整环都是有限域
明确了环和特殊环的定义后,现在着重研究下子环的特点和性质
子环与子群的概念是类似的;子环中特殊的为理想,相当于群中的正规子群,相应的有,环R/理想I为商环
理想也可以分为素理想、 极大理想、 主理想等;
重要定理:对于一个带有单位元的交换环R而言,有
- 理想M是极大理想<=>R/M是域
- 理想P是素理想<=>R/P是整环
- 极大理想都是素理想
- 当R是一个主理想环,R/(c)是域<=>c为素数
补充:环的特征,实质就是环的加法运算中使最少个任何数为0的对应的数,为素数或0;交换环中利用环的特征有一系列公式。
同群类似,环也有相应的针对两个运算的同态 同构 自同构的概念;
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