Bundle Adjustment

在上一篇文章中，成功将三维重建扩展到了任意数量的图像，但是，随着图像的增多，累计误差会越来越大，从而影响最终的重建效果。要解决这个问题，需要用到Bundle Adjustment（下文简称BA）。
BA本质上是一个非线性优化算法，先来看看它的原型
$\min_x \sum_i{\rho_i(||f_i(x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik})||^2)}$
其中 $x$ 是我们需要优化的参数， $f$ 一般称为代价函数（Cost Function）, $\rho$ 为损失函数（Loss Function）。其中 $f$ 的返回值可能是一个向量，因此总的代价取该向量的2-范数。
对于三维重建中的BA，代价函数往往是反向投影误差，比如我们需要优化的参数有相机的内参（焦距、光心、畸变等）、外参（旋转和平移）以及点云，设图像 $i$ 的内参为 $K_i$ ，外参为 $R_i$ 和 $T_i$ ，点云中某一点的坐标为 $P_j$ ，该点在 $i$ 图像中的像素坐标为 $p_j^i$ ，则可以写出反向投影误差
$f(K_i, R_i, T_i, P_j)=\pi(K_i[R_i\ \ T_i]P_j) – p_j^i$
上式中的 $P_j$ 和 $p_j^i$ 均为齐次坐标，其中 $\pi$ 为投影函数，有 $\pi(p)=(p_x/p_z,\ p_y/p_z,\ 1)$ .
而损失函数 $\rho$ 的目的是为了增强算法的鲁棒性，使得算法不易受离群点（Outliers）的影响，常见的有Huber函数、Tukey函数等，这些函数的图像如下
Loss Functions

若不使用损失函数，即 $\rho(x)=x$ ，那么就如上图中的黑色曲线，代价(Cost)随着误差以二次幂的速度增长，也许一个误差较大的点，就能左右算法的优化方向。其他的损失函数，可以发现，随着误差的增大，要么代价的增长是趋于线性的(Huber)，要么干脆趋于不变(Tukey)，这样就降低了误差较大的点对总代价的影响。损失函数实际上就是代价的重映射过程。

Ceres Solver

如何求解BA？总体思想是使用梯度下降，比如高斯-牛顿迭代、Levenberg-Marquardt算法等，由于BA还有自己的一些特殊性，比如稀疏性，在实现时还有很多细节需要处理，在此就不细说了。好在现在有很多用于求解非线性最小二次问题的库，文中使用的就是Google的一个开源项目——Ceres Solver.
Ceres Solver专为求解此类问题进行了大量的优化，有很高的效率，尤其在大规模问题上，其优势更加明显。并且，Ceres内置了一些常用的函数，比如对坐标的旋转以及各类损失函数，使其在开发上也比较高效。在官网上可以找到它的编译方法和使用教程，Windows用户可以在此找到配置好的VS工程。

编写代码

代码总体基本不变，我们只需要再添加一个函数用于BA即可，还有一点需要注意的是，Ceres Solver默认使用双精度浮点，如果精度不够可能导致计算梯度失败、问题无法收敛等问题，因此在原来的代码中，需要将原本问Point3f型的structure，改为Point3d类型。
首先定义一个代价函数

struct ReprojectCost
{ 
   
	cv::Point2d observation;

	ReprojectCost(cv::Point2d& observation)
		: observation(observation)
	{ 
   
	}

	template <typename T>
	bool operator()(const T* const intrinsic, const T* const extrinsic, const T* const pos3d, T* residuals) const
	{ 
   
		const T* r = extrinsic;
		const T* t = &extrinsic[3];

		T pos_proj[3];
		ceres::AngleAxisRotatePoint(r, pos3d, pos_proj);

		// Apply the camera translation
		pos_proj[0] += t[0];
		pos_proj[1] += t[1];
		pos_proj[2] += t[2];

		const T x = pos_proj[0] / pos_proj[2];
		const T y = pos_proj[1] / pos_proj[2];

		const T fx = intrinsic[0];
		const T fy = intrinsic[1];
		const T cx = intrinsic[2];
		const T cy = intrinsic[3];

		// Apply intrinsic
		const T u = fx * x + cx;
		const T v = fy * y + cy;

		residuals[0] = u - T(observation.x);
		residuals[1] = v - T(observation.y);

		return true;
	}
};

该代价函数就是之前所说的反向投影误差，参数分别为内参、外参还有点在空间中的坐标，最后一个参数用于输出，为反向投影误差。注意，为了使BA更高效可靠，外参当中的旋转部分使用的是旋转向量而不是旋转矩阵，这样不仅使优化参数从9个变为3个，还能保证参数始终代表一个合法的旋转（如果用矩阵，可能在优化过程中，正交性不再满足）。

接下来直接使用Ceres Solver求解BA，其中使用了Ceres提供的Huber函数作为损失函数

void bundle_adjustment(
	Mat& intrinsic,
	vector<Mat>& extrinsics, 
	vector<vector<int>>& correspond_struct_idx,
	vector<vector<KeyPoint>>& key_points_for_all,
	vector<Point3d>& structure
)
{ 
   
	ceres::Problem problem;

	// load extrinsics (rotations and motions)
	for (size_t i = 0; i < extrinsics.size(); ++i)
	{ 
   
		problem.AddParameterBlock(extrinsics[i].ptr<double>(), 6);
	}
	// fix the first camera.
	problem.SetParameterBlockConstant(extrinsics[0].ptr<double>());

	// load intrinsic
	problem.AddParameterBlock(intrinsic.ptr<double>(), 4); // fx, fy, cx, cy

	// load points
	ceres::LossFunction* loss_function = new ceres::HuberLoss(4);	// loss function make bundle adjustment robuster.
	for (size_t img_idx = 0; img_idx < correspond_struct_idx.size(); ++img_idx)
	{ 
   
		vector<int>& point3d_ids = correspond_struct_idx[img_idx];
		vector<KeyPoint>& key_points = key_points_for_all[img_idx];
		for (size_t point_idx = 0; point_idx < point3d_ids.size(); ++point_idx)
		{ 
   
			int point3d_id = point3d_ids[point_idx];
			if (point3d_id < 0)
				continue;

			Point2d observed = key_points[point_idx].pt;
			// 模板参数中，第一个为代价函数的类型，第二个为代价的维度，剩下三个分别为代价函数第一第二还有第三个参数的维度
			ceres::CostFunction* cost_function = new ceres::AutoDiffCostFunction<ReprojectCost, 2, 4, 6, 3>(new ReprojectCost(observed));

			problem.AddResidualBlock(
				cost_function,
				loss_function,
				intrinsic.ptr<double>(),			// Intrinsic
				extrinsics[img_idx].ptr<double>(),	// View Rotation and Translation
				&(structure[point3d_id].x)			// Point in 3D space
			);
		}
	}

	// Solve BA
	ceres::Solver::Options ceres_config_options;
	ceres_config_options.minimizer_progress_to_stdout = false;
	ceres_config_options.logging_type = ceres::SILENT;
	ceres_config_options.num_threads = 1;
	ceres_config_options.preconditioner_type = ceres::JACOBI;
	ceres_config_options.linear_solver_type = ceres::SPARSE_SCHUR;
	ceres_config_options.sparse_linear_algebra_library_type = ceres::EIGEN_SPARSE;

	ceres::Solver::Summary summary;
	ceres::Solve(ceres_config_options, &problem, &summary);

	if (!summary.IsSolutionUsable())
	{ 
   
		std::cout << "Bundle Adjustment failed." << std::endl;
	}
	else
	{ 
   
		// Display statistics about the minimization
		std::cout << std::endl
			<< "Bundle Adjustment statistics (approximated RMSE):\n"
			<< " #views: " << extrinsics.size() << "\n"
			<< " #residuals: " << summary.num_residuals << "\n"
			<< " Initial RMSE: " << std::sqrt(summary.initial_cost / summary.num_residuals) << "\n"
			<< " Final RMSE: " << std::sqrt(summary.final_cost / summary.num_residuals) << "\n"
			<< " Time (s): " << summary.total_time_in_seconds << "\n"
			<< std::endl;
	}
}

如果求解成功，会输出一些统计信息，其中最重要的两项分别是优化前的平均反向投影误差（Initial RMSE）和优化后的该值（Final RMSE）。

main函数完全不用变，只需在最后加入如下代码，对BA进行调用即可

Mat intrinsic(Matx41d(K.at<double>(0, 0), K.at<double>(1, 1), K.at<double>(0, 2), K.at<double>(1, 2)));
vector<Mat> extrinsics;
for (size_t i = 0; i < rotations.size(); ++i)
{ 
   
	Mat extrinsic(6, 1, CV_64FC1);
	Mat r;
	Rodrigues(rotations[i], r);

	r.copyTo(extrinsic.rowRange(0, 3));
	motions[i].copyTo(extrinsic.rowRange(3, 6));

	extrinsics.push_back(extrinsic);
}

bundle_adjustment(intrinsic, extrinsics, correspond_struct_idx, key_points_for_all, structure);