大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

关键字：NURBS，基函数，控制点，节点，

另一个讲的很好的 https://www.cnblogs.com/icmzn/p/5100761.html

看了网上很多相关资料才得以下笔，资料太多，这里就不一一列举了，感谢各位大佬的资料

本博客顺序不太好，看前面的东西可能需要提前看后面的东西。正在努力修炼，敬请谅解

写了个B样条曲线计算的完成程序，包括绘图，https://download.csdn.net/download/qq_40597317/10646881，BaseFunction部分参考了https://www.cnblogs.com/nobodyzhou/p/5451528.html 侵删重点就是由于规定了0/0=0，所以最需要注意的地方，原作者的思路是如果除数为0，就让除数为1，然后继续运算。这个思路真的很棒，如果被除数为0的话，那么结果就是0，否则的话结果就是被除数了。显然也没有人要求到这点。运行图像结果如下：

B样条曲线（B-spline Curves）

一、定义

1.1 概述

是B-样条基曲线（给定区间上的所有样条函数组成一个线性空间。这个线性空间的基函数就叫做B样条基函数）的线性组合。

B-样条是贝兹曲线的一种一般化，B样条不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS,可以进一步推广为非均匀有理B-样条(NURBS)。三者关系可以表示为：

细分定义域

直接细分（Subdividing）曲线是很困难的。因此，我们细分曲线的定义域。因此，如果曲线的定义域是[0,1]，这个闭区间被称为节点（knots）的点细分而成。设这些节点是 0 <= u0 <= u1 <= … <= um <= 1。那么点C(ui)的曲线细分如下图所示，因此，修改[0,1]的细分会改变曲线的形状。

如下图，这里有5段曲线组成了整个曲线。下面的直线定义域为[0,1]，就是[0,1]被分成五段

可以看出，这里定义域被节点细分，节点分别是0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1，6个节点正好可以把定义域（即下面的黑色线段）分成5段。

可以看出，6个节点分别对应于曲线上的一个点,可以用代表对应的曲线上的点，被称为节点点(knot point)，节点点把B-样条曲线划分成5个曲线段，每个都定义在一个节点区间上。这些曲线段都是 p 次的贝塞尔曲线。

节点(knots)

有

那么被称为节点，显然上述的m=5

设U是m+1个非递减数的集合，那么有，集合U称为节点向量(knot vector)。

如果，那么是一个重复度(multiplicity)为k的多重节点,k>1,否则如果一个节点只出现一次，那么这就是一个简单节点。如果节点等间距，节点向量或节点序列称为均匀的；否则它是非均匀的。

是第i节点个区间,i=0,1,…,m

所有的B样条基函数都被假设在定义域上，通常为0，为1

1.2 组成

总之，为了设计一个B-样条曲线，我们需要一系列的控制点（就是下图折线的连接点，一共8个），一系列的节点和一系列的系数，每个系数对应一个控制点，所以所有曲线段连接在一起满足某个连续条件。系数的计算可能是最复杂的步骤因为它们必须保证某个连续条件。

将多个贝塞尔曲线连接就可以得到B样条。

如下图所示，这里有8个控制点，依次用线段连接，B样条曲线由一系列5条3次的贝塞尔曲线连接形成。

一般次数越低（即p越小），那么B样条曲线就更容易逼近他的控制折线

二、特点

2.1 一般不经过控制点

B样条由一系列控制点决定，但是B样条不会经过其控制点。

2.2 分段

以上所有的分段都为Bezier曲线，对于分段Bezier曲线，不同的曲线段相互独立，移动控制点只会影响其所在的Bezier曲线段，而其他的Bezier曲线段都不会改变，甚至所有关于Bezier曲线的算法可以同样地适用于分段Bezier曲线。

核心思想就是：用分段低阶多项式通过连续的连接来代替高阶多项式

2.3 与Bezier对比

Bezier曲线/曲面不支持局部的修改和编辑；
Bezier曲线/曲面拼接时，满足几何连续条件是十分困难的。

三、数学表达

3.1 一般表达

有n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)和一个节点向量，依次连接这些控制点可以构成一个特征多边形，k+1阶（k次）B样条曲线的表达式为（2<=k<=n+1），必须满足m=n+k+1

其中是k次B样条基函数，也叫调和函数，或者 k次规范B样条基函数，下面为其递归公式（这个公式叫Cox-de Boor）的定义

显然，基函数由U定义，其中基函数满足微分方程：

上图是基函数的运算关系，从左向右，从上往下可以依次计算各个基函数

基函数：

基函数只在附近的一个子区间非0，这就是局部的概念。（不明白的）

基函数表示基函数的次数(degree)为k，这是第i个k次B样条基函数,i=0,1,…

四、性质

4.1 基函数的性质

1. 局部支撑性

若，那么

2.

在任意给定节点区间,最多p+1个非零，分别是

3.非负性

4.规范性

任意给定节点区间,时

可微性

在节点内部，无限次可微，时，

4.2 凸包包含

样条曲线包含在控制折线（ployline）的凸包内。更特别地，如果u 在节点区间[ui,ui+1)里，那么C(u)在控制点Pi-p, Pi-p+1, …, Pi的凸包里。

4.3 Pi **只影响在区间[ui, ui+p+1)上的曲线 C(u)**。

五、分类（根据节点向量中节点的分布）

5.1 均匀B样条曲线

(这里的节点可以理解为控制点)

节点成等差数列均匀分布

5.2 准均匀B样条曲线

两端节点0,1重复度为次数k的基础上加1，即k+1，即，所有内部节点重复度为k+1.

显然，首尾两边是相切的

5.3 分段Bezier曲线

两端节点重复度为k+1，内部节点重复度为k，显然此时必须满足条件(m-1)%k==0

5.4 非均匀B样条

任意选取的一个序列[u0,…,um]，只要在数学上成立即可，这是最一般的情况

六、计算B样条上的一点的值

7.1 修改曲线的形状

可以修改一个或多个控制参数：控制点的位置(n+1)，节点位置(m+1)，和曲线的次数p。

一般为开（open ）B-样条曲线，也就是产生的曲线不会与控制折线（polyline）的第一边（leg）和最后一边（leg）接触，如下图，对于开曲线，区间不会有基函数的完全支持（“full support”）,就是指在这些区间上，只有一个非零基函数。所以有以下结论，对于开B样条曲线，定义域为