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素数算法总结

转载自：_Wilbert

在平时做题目或者进行预算的时候，素数的出现次数总是十分频繁。今天我们就来一点一点的说一说关于素数的一些算法。

素数算法总结

朴素判断素数算法

就判断素数而言，事实上是非常简单的了。根据定义，判断一个整数n是否是素数，只需要去判断在整数区间[2, n-1]之内，是否具有某个数m，使得n % m == 0。代码可以这么写：

int isPrime(int n) {  
    int i;  
    for (i = 2; i < n; ++i) {  
        if (n % i == 0) return 0;  
    }  
    return 1;  
}

事实上，这个算法是O(n)的，感觉是很快了，但是依旧无法满足需求。所以有一个算法是O(sqrt(n))的算法。代码可以这么写：

int isPrime(long long n) {  
    long long i;  
    for (i = 2; i * i <= n; ++i) {  
        if (n % i == 0) return 0;  
    }  
    return 1;  
}

原理很巧妙，也仅仅是把代码的i < n变成了i * i <= n而已，但是优化却是极其高的。可能你会注意到，在上一份代码里面，我定义的n为int类型，而后面一份代码，我却定义成了long long，这是因为在1s内，上一份代码能判断出来的数量级为1e8，而后面一份代码判断出来的数量级却几乎可以达到1e16。而原因仅仅是因为a * b = c的话一旦a是c的约数，那么b也是，如果a不是，那么b也不是。
这个方法也可以称作试除法。

Miller_Rabin素性测试

尽管上面的O(sqrt(n))的算法已经非常优秀了，但是面对更高数量级的“大数”却会显得力不从心。而这个时候，Miller_Rabin的优越性就显示出来了。
Miller_Rabin的理论基础来源于费马小定理。值得一提的是费马小定理是数论四大定理之一。
费马小定理：n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)
要测试n是否是一个素数，首先将n-1分解为(2^s) * d，在每次测试开始时，先随机选择一个介于[1, N – 1]的整数a，之后如果对于所有的r∈[0, s – 1]，若a^d mod N ≠ 1且a^((2^r) * d) mod N ≠ -1，那么n就是一个合数，否则n有3/4的几率是素数。
这也是为什么说这个算法只是素性测试了，他不能完全保证结果正确，但是当测试次数大约为20的时候，基本可以确保正确率达到97%以上。
它的代码可以这么写：

const int S = 20;  
LL mod_mul(LL a, LL b, LL n) {  
    LL res = 0;  
    while (b) {  
        if (b & 1) res = (res + a) % n;  
        a = (a + a) % n;  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
LL mod_exp(LL a, LL b, LL n) {  
    LL res = 1;  
    while (b) {  
        if (b & 1) res = mod_mul(res, a, n);  
        a = mod_mul(a, a, n);  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
bool miller_rabin(LL n) {  
    if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11) return true;  
    if (n == 1 || !(n % 2) || !(n % 3) || !(n % 5) || !(n % 7) || !(n % 11)) return false;  

    LL x, pre, u = n - 1, k = 0;  

    while (!(u & 1)) {  
        ++k;  
        u >>= 1;  
    }  

    srand((LL)time(NULL));  
    for (int i = 0; i < S; ++i) {                     //进行S次测试，S越大，结果越准确 
        x = rand() % (n - 2) + 2;                   //在[2, n)中取随机数 
        if (x % n == 0) continue;  

        x = mod_exp(x, u, n);                       //计算x^u % n 
        pre = x;  
        for (int j = 0; j < k; ++j) {  
            x = mod_mul(x, x, n);  
            if (x == 1 && pre != 1 && pre != n - 1)  
                return false;  
            pre = x;  
        }  
        if (x != 1) return false;  
    }  
    return true;  
}

筛选法

上面介绍的一些素数判断的算法，在某些问题是基本可以适用的了。但是对于另外一类问题却十分尴尬。比如问你整数区间[1, n]内的素数个数是多少。这个时候如果一个个枚举，一个个判断，对于朴素方法来说，最优也是O(nsqrt(n))，即使是Miller_Rabin算法也无法在O(n)的时间内得到结果。于是就有了埃氏筛选法（埃拉托斯特尼筛法）。
对于筛选整数n以内的素数，算法是这么描述的：先把素数2的倍数全部删除，剩下的数第一个为3，再把素数3的倍数全部删除，剩下的第一个数为5，再把素数5的倍数全部删除······直到把n以内最后一个素数的倍数删除完毕，得到n以内的所有素数。代码可以这么写：

const int maxn = 1e7 + 5;  
int pri[maxn];  
void getPrime(int n) {  
    for (int i = 0; i <= n; ++i) pri[i] = i;  
    pri[1] = 0;  
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {  
        if (!pri[i]) continue;  
        pri[++pri[0]] = i;  
        for (int j = 2; i * j <= n && j < n; ++j) {  
            pri[i * j] = 0;  
        }  
    }  
}

而事实上，观察可以发现，上面的这种写法有很多次重复计算，这样显然无法做到线性筛选，而另外一种写法却可以得到线性筛选，达到时间复杂度为O(n)，代码可以这么写：

const int MAXN = 1e7 + 5;  
void getPrime(){  
    memset(prime, 0, sizeof(prime));  
    for (int i = 2;i <= MAXN;i++) {  
        if (!prime[i])prime[++prime[0]] = i;  
        for (int j = 1;j <= prime[0] && prime[j] <= MAXN / i;j++) {  
            prime[prime[j] * i] = 1;  
            if (i%prime[j] == 0) break;  
        }  
    }  
}

来自kuangbin的模板。

容斥原理

从上面的代码可以发现，显然这种筛法只能应付达到1e7这种数量级的运算，即使是线性的筛选法，也无法满足，因为在ACM竞赛中，1e8的内存是极有可能获得Memery Limit Exceed的。
于是可以考虑容斥原理。
以AHUOJ 557为例，1e8的情况是筛选法完全无法满足的，但是还是考虑a * b = c的情况，1e8只需要考虑10000以内的素数p[10000]，然后每次先减去n / p[i]，再加上n / (p[i] * p[j])再减去n / (p[i] * p[j] * p[k])以此类推…于是就可以得到正确结果了。
代码如下：

#include <cmath> 
#include <cstdio> 
using namespace std;  

const int maxn = 10005;  
int sqrn, n, ans = 0;  
bool vis[maxn];  
int pri[1500] = {
  
  0};  
void init(){  
    vis[1] = true;  
    int k = 0;  
    for(int i = 2; i < maxn; i++){  
        if(!vis[i]) pri[k++] = i;  
        for(int j = 0; j < k && pri[j] * i < maxn; j++){  
            vis[pri[j] * i] = true;  
            if(i % pri[j] == 0) break;  
        }  
    }  
}  
void dfs(int num, int res, int index){  
    for(int i = index; pri[i] <= sqrn; i++){  
        if(1LL * res * pri[i] > n){  
            return;  
        }  
        dfs(num + 1, res * pri[i], i+1);  
        if(num % 2 == 1){  
            ans -= n / (res * pri[i]);  
        }else{  
            ans += n / (res * pri[i]);  
        }  

        if(num == 1) ans++;  
    }  
}  
int main(){  
    init();  
    while(~scanf("%d",&n) && n){  
        ans = n;  
        sqrn = sqrt((double)n);  
        dfs(1,1,0);  
        printf("%d\n",ans-1);  
    }  
    return 0;  
}

Meissel-Lehmer算法

最后介绍的这个算法可以说是黑科技级别的，它能够在3s内求出1e11之内的素数个数。据说还有在300ms内求出1e11的个数的。可以参考wiki里面原理。然后给出来自Codeforces 665F题目里面的代码。

#define MAXN 100 // pre-calc max n for phi(m, n) 
#define MAXM 10010 // pre-calc max m for phi(m, n) 
#define MAXP 40000 // max primes counter 
#define MAX 400010 // max prime 
#define setbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) |= (1 << (((i) >> 1) & 31)))) 
#define chkbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) & (1 << (((i) >> 1) & 31)))) 
#define isprime(x) (( (x) && ((x)&1) && (!chkbit(ar, (x)))) || ((x) == 2)) 

namespace pcf {  
    long long dp[MAXN][MAXM];  
    unsigned int ar[(MAX >> 6) + 5] = { 0 };  
    int len = 0, primes[MAXP], counter[MAX];  

    void Sieve() {  
        setbit(ar, 0), setbit(ar, 1);  
        for (int i = 3; (i * i) < MAX; i++, i++) {  
            if (!chkbit(ar, i)) {  
                int k = i << 1;  
                for (int j = (i * i); j < MAX; j += k) setbit(ar, j);  
            }  
        }  

        for (int i = 1; i < MAX; i++) {  
            counter[i] = counter[i - 1];  
            if (isprime(i)) primes[len++] = i, counter[i]++;  
        }  
    }  

    void init() {  
        Sieve();  
        for (int n = 0; n < MAXN; n++) {  
            for (int m = 0; m < MAXM; m++) {  
                if (!n) dp[n][m] = m;  
                else dp[n][m] = dp[n - 1][m] - dp[n - 1][m / primes[n - 1]];  
            }  
        }  
    }  

    long long phi(long long m, int n) {  
        if (n == 0) return m;  
        if (primes[n - 1] >= m) return 1;  
        if (m < MAXM && n < MAXN) return dp[n][m];  
        return phi(m, n - 1) - phi(m / primes[n - 1], n - 1);  
    }  

    long long Lehmer(long long m) {  
        if (m < MAX) return counter[m];  

        long long w, res = 0;  
        int i, a, s, c, x, y;  
        s = sqrt(0.9 + m), y = c = cbrt(0.9 + m);  
        a = counter[y], res = phi(m, a) + a - 1;  
        for (i = a; primes[i] <= s; i++) res = res - Lehmer(m / primes[i]) + Lehmer(primes[i]) - 1;  
        return res;  
    }  
}