大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一、多层感知机（MLP）原理简介

多层感知机（MLP，Multilayer Perceptron）也叫人工神经网络（ANN，Artificial Neural Network），除了输入输出层，它中间可以有多个隐层，最简单的MLP只含一个隐层，即三层的结构，如下图：

MLP多层感知机（人工神经网络）原理及代码实现

从上图可以看到，多层感知机层与层之间是全连接的（全连接的意思就是：上一层的任何一个神经元与下一层的所有神经元都有连接）。多层感知机最底层是输入层，中间是隐藏层，最后是输出层。

输入层没什么好说，你输入什么就是什么，比如输入是一个n维向量，就有n个神经元。

隐藏层的神经元怎么得来？首先它与输入层是全连接的，假设输入层用向量X表示，则隐藏层的输出就是

f(W1X+b1)，W1是权重（也叫连接系数），b1是偏置，函数f 可以是常用的sigmoid函数或者tanh函数：

最后就是输出层，输出层与隐藏层是什么关系？其实隐藏层到输出层可以看成是一个多类别的逻辑回归，也即softmax回归，所以输出层的输出就是softmax(W2X1+b2)，X1表示隐藏层的输出f(W1X+b1)。

MLP整个模型就是这样子的，上面说的这个三层的MLP用公式总结起来就是，函数G是softmax

MLP多层感知机（人工神经网络）原理及代码实现

因此，MLP所有的参数就是各个层之间的连接权重以及偏置，包括W1、b1、W2、b2。对于一个具体的问题，怎么确定这些参数？求解最佳的参数是一个最优化问题，解决最优化问题，最简单的就是梯度下降法了（SGD）：首先随机初始化所有参数，然后迭代地训练，不断地计算梯度和更新参数，直到满足某个条件为止（比如误差足够小、迭代次数足够多时）。这个过程涉及到代价函数、规则化（Regularization）、学习速率（learning rate）、梯度计算等，本文不详细讨论，读者可以参考本文顶部给出的两个链接。

了解了MLP的基本模型，下面进入代码实现部分。

二、多层感知机（MLP）代码详细解读（基于python+theano）

再次说明，代码来自：Multilayer Perceptron，本文只是做一个详细解读，如有错误，请不吝指出。

这个代码实现的是一个三层的感知机，但是理解了代码之后，实现n层感知机都不是问题，所以只需理解好这个三层的MLP模型即可。概括地说，MLP的输入层X其实就是我们的训练数据，所以输入层不用实现，剩下的就是“输入层到隐含层”，“隐含层到输出层”这两部分。上面介绍原理时已经说到了，“输入层到隐含层”就是一个全连接的层，在下面的代码中我们把这一部分定义为HiddenLayer。“隐含层到输出层”就是一个分类器softmax回归（也有人叫逻辑回归），在下面的代码中我们把这一部分定义为LogisticRegression。

代码详解开始：

（1）导入必要的python模块

主要是numpy、theano，以及python自带的os、sys、time模块，这些模块的使用在下面的程序中会看到。

import os
import sys
import time
 
import numpy
 
import theano
import theano.tensor as T

（2）定义MLP模型（HiddenLayer+LogisticRegression）

这一部分定义MLP的基本“构件”，即上文一直在提的HiddenLayer和LogisticRegression

HiddenLayer

隐含层我们需要定义连接系数W、偏置b，输入、输出，具体的代码以及解读如下：

class HiddenLayer(object):    def __init__(self, rng, input, n_in, n_out, W=None, b=None,                 activation=T.tanh):        """注释：这是定义隐藏层的类，首先明确：隐藏层的输入即input，输出即隐藏层的神经元个数。输入层与隐藏层是全连接的。假设输入是n_in维的向量（也可以说时n_in个神经元），隐藏层有n_out个神经元，则因为是全连接，一共有n_in*n_out个权重，故W大小时(n_in,n_out),n_in行n_out列，每一列对应隐藏层的每一个神经元的连接权重。b是偏置，隐藏层有n_out个神经元，故b时n_out维向量。rng即随机数生成器，numpy.random.RandomState，用于初始化W。input训练模型所用到的所有输入，并不是MLP的输入层，MLP的输入层的神经元个数时n_in，而这里的参数input大小是（n_example,n_in）,每一行一个样本，即每一行作为MLP的输入层。activation:激活函数,这里定义为函数tanh        """                self.input = input   #类HiddenLayer的input即所传递进来的input """注释：代码要兼容GPU，则W、b必须使用 dtype=theano.config.floatX,并且定义为theano.shared另外，W的初始化有个规则：如果使用tanh函数，则在-sqrt(6./(n_in+n_hidden))到sqrt(6./(n_in+n_hidden))之间均匀抽取数值来初始化W，若时sigmoid函数，则以上再乘4倍。"""#如果W未初始化，则根据上述方法初始化。#加入这个判断的原因是：有时候我们可以用训练好的参数来初始化W，见我的上一篇文章。        if W is None:            W_values = numpy.asarray(                rng.uniform(                    low=-numpy.sqrt(6. / (n_in + n_out)),                    high=numpy.sqrt(6. / (n_in + n_out)),                    size=(n_in, n_out)                ),                dtype=theano.config.floatX            )            if activation == theano.tensor.nnet.sigmoid:                W_values *= 4            W = theano.shared(value=W_values, name='W', borrow=True)         if b is None:            b_values = numpy.zeros((n_out,), dtype=theano.config.floatX)            b = theano.shared(value=b_values, name='b', borrow=True) #用上面定义的W、b来初始化类HiddenLayer的W、b        self.W = W        self.b = b #隐含层的输出        lin_output = T.dot(input, self.W) + self.b        self.output = (            lin_output if activation is None            else activation(lin_output)        ) #隐含层的参数        self.params = [self.W, self.b]

LogisticRegression

逻辑回归（softmax回归），代码详解如下。

（如果你想详细了解softmax回归，可以参考： DeepLearning tutorial（1）Softmax回归原理简介+代码详解）

"""
定义分类层，Softmax回归
在deeplearning tutorial中，直接将LogisticRegression视为Softmax，
而我们所认识的二类别的逻辑回归就是当n_out=2时的LogisticRegression
"""
#参数说明：
#input，大小就是(n_example,n_in)，其中n_example是一个batch的大小，
#因为我们训练时用的是Minibatch SGD，因此input这样定义
#n_in,即上一层(隐含层)的输出
#n_out,输出的类别数 
class LogisticRegression(object):
    def __init__(self, input, n_in, n_out):
 
#W大小是n_in行n_out列，b为n_out维向量。即：每个输出对应W的一列以及b的一个元素。  
        self.W = theano.shared(
            value=numpy.zeros(
                (n_in, n_out),
                dtype=theano.config.floatX
            ),
            name='W',
            borrow=True
        )
 
        self.b = theano.shared(
            value=numpy.zeros(
                (n_out,),
                dtype=theano.config.floatX
            ),
            name='b',
            borrow=True
        )
 
#input是(n_example,n_in)，W是（n_in,n_out）,点乘得到(n_example,n_out)，加上偏置b，
#再作为T.nnet.softmax的输入，得到p_y_given_x
#故p_y_given_x每一行代表每一个样本被估计为各类别的概率    
#PS：b是n_out维向量，与(n_example,n_out)矩阵相加，内部其实是先复制n_example个b，
#然后(n_example,n_out)矩阵的每一行都加b
        self.p_y_given_x = T.nnet.softmax(T.dot(input, self.W) + self.b)
 
#argmax返回最大值下标，因为本例数据集是MNIST，下标刚好就是类别。axis=1表示按行操作。
        self.y_pred = T.argmax(self.p_y_given_x, axis=1)
 
#params，LogisticRegression的参数     
        self.params = [self.W, self.b]

ok！这两个基本“构件”做好了，现在我们可以将它们“组装”在一起。

我们要三层的MLP，则只需要HiddenLayer+LogisticRegression，

如果要四层的MLP，则为HiddenLayer+HiddenLayer+LogisticRegression……..以此类推。

下面是三层的MLP：

#3层的MLP
class MLP(object):
    def __init__(self, rng, input, n_in, n_hidden, n_out):
        
        self.hiddenLayer = HiddenLayer(
            rng=rng,
            input=input,
            n_in=n_in,
            n_out=n_hidden,
            activation=T.tanh
        )
 
#将隐含层hiddenLayer的输出作为分类层logRegressionLayer的输入，这样就把它们连接了
        self.logRegressionLayer = LogisticRegression(
            input=self.hiddenLayer.output,
            n_in=n_hidden,
            n_out=n_out
        )
 
 
#以上已经定义好MLP的基本结构，下面是MLP模型的其他参数或者函数
 
#规则化项：常见的L1、L2_sqr
        self.L1 = (
            abs(self.hiddenLayer.W).sum()
            + abs(self.logRegressionLayer.W).sum()
        )
 
        self.L2_sqr = (
            (self.hiddenLayer.W ** 2).sum()
            + (self.logRegressionLayer.W ** 2).sum()
        )
 
 
#损失函数Nll（也叫代价函数）
        self.negative_log_likelihood = (
            self.logRegressionLayer.negative_log_likelihood
        )
 
#误差      
        self.errors = self.logRegressionLayer.errors
 
#MLP的参数
        self.params = self.hiddenLayer.params + self.logRegressionLayer.params
        # end-snippet-3

MLP类里面除了隐含层和分类层，还定义了损失函数、规则化项，这是在求解优化算法时用到的。

（3）将MLP应用于MNIST（手写数字识别）

上面定义好了一个三层的MLP，接下来使用它在MNIST数据集上分类，MNIST是一个手写数字0～9的数据集。

首先定义加载数据 mnist.pkl.gz 的函数load_data()：

"""
加载MNIST数据集
"""
def load_data(dataset):
    # dataset是数据集的路径，程序首先检测该路径下有没有MNIST数据集，没有的话就下载MNIST数据集
    #这一部分就不解释了，与softmax回归算法无关。
    data_dir, data_file = os.path.split(dataset)
    if data_dir == "" and not os.path.isfile(dataset):
        # Check if dataset is in the data directory.
        new_path = os.path.join(
            os.path.split(__file__)[0],
            "..",
            "data",
            dataset
        )
        if os.path.isfile(new_path) or data_file == 'mnist.pkl.gz':
            dataset = new_path
 
    if (not os.path.isfile(dataset)) and data_file == 'mnist.pkl.gz':
        import urllib
        origin = (
            'http://www.iro.umontreal.ca/~lisa/deep/data/mnist/mnist.pkl.gz'
        )
        print 'Downloading data from %s' % origin
        urllib.urlretrieve(origin, dataset)
 
    print '... loading data'
#以上是检测并下载数据集mnist.pkl.gz，不是本文重点。下面才是load_data的开始
    
#从"mnist.pkl.gz"里加载train_set, valid_set, test_set，它们都是包括label的
#主要用到python里的gzip.open()函数,以及 cPickle.load()。
#‘rb’表示以二进制可读的方式打开文件
    f = gzip.open(dataset, 'rb')
    train_set, valid_set, test_set = cPickle.load(f)
    f.close()
   
 
#将数据设置成shared variables，主要时为了GPU加速，只有shared variables才能存到GPU memory中
#GPU里数据类型只能是float。而data_y是类别，所以最后又转换为int返回
    def shared_dataset(data_xy, borrow=True):
        data_x, data_y = data_xy
        shared_x = theano.shared(numpy.asarray(data_x,
                                               dtype=theano.config.floatX),
                                 borrow=borrow)
        shared_y = theano.shared(numpy.asarray(data_y,
                                               dtype=theano.config.floatX),
                                 borrow=borrow)
        return shared_x, T.cast(shared_y, 'int32')
 
 
    test_set_x, test_set_y = shared_dataset(test_set)
    valid_set_x, valid_set_y = shared_dataset(valid_set)
    train_set_x, train_set_y = shared_dataset(train_set)
 
    rval = [(train_set_x, train_set_y), (valid_set_x, valid_set_y),
            (test_set_x, test_set_y)]
    return rval

加载了数据，可以开始训练这个模型了，以下就是主体函数test_mlp()，将MLP用在MNIST上：

#test_mlp是一个应用实例，用梯度下降来优化MLP，针对MNIST数据集
def test_mlp(learning_rate=0.01, L1_reg=0.00, L2_reg=0.0001, n_epochs=10,
             dataset='mnist.pkl.gz', batch_size=20, n_hidden=500):
    """
注释：
learning_rate学习速率，梯度前的系数。
L1_reg、L2_reg：正则化项前的系数，权衡正则化项与Nll项的比重
代价函数=Nll+L1_reg*L1或者L2_reg*L2_sqr
n_epochs：迭代的最大次数（即训练步数），用于结束优化过程
dataset：训练数据的路径
n_hidden:隐藏层神经元个数
batch_size=20，即每训练完20个样本才计算梯度并更新参数
   """
 
#加载数据集，并分为训练集、验证集、测试集。
    datasets = load_data(dataset)
    train_set_x, train_set_y = datasets[0]
    valid_set_x, valid_set_y = datasets[1]
    test_set_x, test_set_y = datasets[2]
 
 
#shape[0]获得行数，一行代表一个样本，故获取的是样本数，除以batch_size可以得到有多少个batch
    n_train_batches = train_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
    n_valid_batches = valid_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
    n_test_batches = test_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
 
    ######################
    # BUILD ACTUAL MODEL #
    ######################
    print '... building the model'
 
#index表示batch的下标，标量
#x表示数据集
#y表示类别，一维向量
    index = T.lscalar()  
    x = T.matrix('x') 
    y = T.ivector('y')  
                       
 
    rng = numpy.random.RandomState(1234)
#生成一个MLP，命名为classifier
    classifier = MLP(
        rng=rng,
        input=x,
        n_in=28 * 28,
        n_hidden=n_hidden,
        n_out=10
    )
 
#代价函数，有规则化项
#用y来初始化，而其实还有一个隐含的参数x在classifier中
    cost = (
        classifier.negative_log_likelihood(y)
        + L1_reg * classifier.L1
        + L2_reg * classifier.L2_sqr
    )
 
 
#这里必须说明一下theano的function函数，givens是字典，其中的x、y是key，冒号后面是它们的value。
#在function被调用时，x、y将被具体地替换为它们的value，而value里的参数index就是inputs=[index]这里给出。
#下面举个例子：
#比如test_model(1)，首先根据index=1具体化x为test_set_x[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]，
#具体化y为test_set_y[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]。然后函数计算outputs=classifier.errors(y)，
#这里面有参数y和隐含的x，所以就将givens里面具体化的x、y传递进去。
    test_model = theano.function(
        inputs=[index],
        outputs=classifier.errors(y),
        givens={
            x: test_set_x[index * batch_size:(index + 1) * batch_size],
            y: test_set_y[index * batch_size:(index + 1) * batch_size]
        }
    )
 
    validate_model = theano.function(
        inputs=[index],
        outputs=classifier.errors(y),
        givens={
            x: valid_set_x[index * batch_size:(index + 1) * batch_size],
            y: valid_set_y[index * batch_size:(index + 1) * batch_size]
        }
    )
 
#cost函数对各个参数的偏导数值，即梯度，存于gparams
    gparams = [T.grad(cost, param) for param in classifier.params]
    
#参数更新规则
#updates[(),(),()....],每个括号里面都是(param, param - learning_rate * gparam)，即每个参数以及它的更新公式
    updates = [
        (param, param - learning_rate * gparam)
        for param, gparam in zip(classifier.params, gparams)
    ]
 
    train_model = theano.function(
        inputs=[index],
        outputs=cost,
        updates=updates,
        givens={
            x: train_set_x[index * batch_size: (index + 1) * batch_size],
            y: train_set_y[index * batch_size: (index + 1) * batch_size]
        }
    )
 
 
    ###############
    # 开始训练模型 #
    ###############
    print '... training'
    
 
 
    patience = 10000  
    patience_increase = 2  
#提高的阈值，在验证误差减小到之前的0.995倍时，会更新best_validation_loss  
    improvement_threshold = 0.995  
#这样设置validation_frequency可以保证每一次epoch都会在验证集上测试。  
    validation_frequency = min(n_train_batches, patience / 2)
  
 
    best_validation_loss = numpy.inf
    best_iter = 0
    test_score = 0.
    start_time = time.clock()
    
#epoch即训练步数，每个epoch都会遍历所有训练数据
    epoch = 0
    done_looping = False
 
 
#下面就是训练过程了，while循环控制的时步数epoch，一个epoch会遍历所有的batch，即所有的图片。
#for循环是遍历一个个batch，一次一个batch地训练。for循环体里会用train_model(minibatch_index)去训练模型，
#train_model里面的updatas会更新各个参数。
#for循环里面会累加训练过的batch数iter，当iter是validation_frequency倍数时则会在验证集上测试，
#如果验证集的损失this_validation_loss小于之前最佳的损失best_validation_loss，
#则更新best_validation_loss和best_iter，同时在testset上测试。
#如果验证集的损失this_validation_loss小于best_validation_loss*improvement_threshold时则更新patience。
#当达到最大步数n_epoch时，或者patience<iter时，结束训练
    while (epoch < n_epochs) and (not done_looping):
        epoch = epoch + 1
        for minibatch_index in xrange(n_train_batches):#训练时一个batch一个batch进行的
 
            minibatch_avg_cost = train_model(minibatch_index)
            # 已训练过的minibatch数，即迭代次数iter
            iter = (epoch - 1) * n_train_batches + minibatch_index
#训练过的minibatch数是validation_frequency倍数，则进行交叉验证
            if (iter + 1) % validation_frequency == 0:
                # compute zero-one loss on validation set
                validation_losses = [validate_model(i) for i
                                     in xrange(n_valid_batches)]
                this_validation_loss = numpy.mean(validation_losses)
 
                print(
                    'epoch %i, minibatch %i/%i, validation error %f %%' %
                    (
                        epoch,
                        minibatch_index + 1,
                        n_train_batches,
                        this_validation_loss * 100.
                    )
                )
#当前验证误差比之前的都小，则更新best_validation_loss，以及对应的best_iter，并且在tsetdata上进行test
                if this_validation_loss < best_validation_loss:
                    if (
                        this_validation_loss < best_validation_loss *
                        improvement_threshold
                    ):
                        patience = max(patience, iter * patience_increase)
 
                    best_validation_loss = this_validation_loss
                    best_iter = iter
 
                    test_losses = [test_model(i) for i
                                   in xrange(n_test_batches)]
                    test_score = numpy.mean(test_losses)
 
                    print(('     epoch %i, minibatch %i/%i, test error of '
                           'best model %f %%') %
                          (epoch, minibatch_index + 1, n_train_batches,
                           test_score * 100.))
#patience小于等于iter，则终止训练
            if patience <= iter:
                done_looping = True
                break
 
    end_time = time.clock()
    print(('Optimization complete. Best validation score of %f %% '
           'obtained at iteration %i, with test performance %f %%') %
          (best_validation_loss * 100., best_iter + 1, test_score * 100.))
    print >> sys.stderr, ('The code for file ' +
                          os.path.split(__file__)[1] +
                          ' ran for %.2fm' % ((end_time - start_time) / 60.))

个人理解：

单个感知器本身是希望通过一个切面或者切线来把数据集分开，这是线性可分的，针对线性不可分或者说非线性问题，它无法解决，可以用多层感知器实现非线性的切分，这就是MLP，如下公式，当然这只是两层的，我们可以继续接很多层。

MLP多层感知机（人工神经网络）原理及代码实现