模型矩阵、视图矩阵、投影矩阵

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

模型视图投影矩阵的作用，就是将顶点从局部坐标系转化到规范立方体(Canonical View Volnme)中。总而言之，模型视图投影矩阵=投影矩阵×视图矩阵×模型矩阵，模型矩阵将顶点从局部坐标系转化到世界坐标系中，视图矩阵将顶点从世界坐标系转化到视图坐标系下，而投影矩阵将顶点从视图坐标系转化到规范立方体中。

如下图所示，假设现在要将三维空间中的三角形渲染到屏幕上。三角形的模型文件中，顶点坐标是在局部坐标系（Xl-Yl-Zl）下的，比如图中三角形三个顶点的初始坐标就可能是(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)。

模型矩阵

模型矩阵将局部坐标系下的顶点坐标转化到世界坐标系下。此处就要涉及局部坐标系相对于世界坐标系的位置和方向，或者说空间中的点的位置发生变化时，坐标如何变化。

考虑三种基本的变换：平移、旋转和缩放。

OpenGL对模型进行旋转、平移和缩放。用到三个子函数： glTranslate*(x, y, z) 、 glRotate*(x, y, z) 、 glScale*(x, y, z) 。每个函数都会产生一个矩阵，并右乘当前矩阵。

「变换」的含义就是，将点的初始位置的坐标P映射到平移、旋转、缩放后的位置坐标P’，即：

齐次坐标由来：

平移变换，变换后点坐标等于初始位置点坐标加上一个平移向量；而旋转变换和缩放变换，变换后点坐标等于初始位置点坐标乘以一个变换矩阵。

齐次坐标这天才的发明，允许平移变换也表示成初始位置点坐标左乘一个变换矩阵的形式。齐次坐标使用4个分量来表示三维空间中的点，前三个分量和普通坐标一样，第四个分量为1。

矩阵有一个性质：

考虑一个点，先进行了一次平移变换，又进行了一次旋转变换，结合上面矩阵的性质，可知变换后的点P’为：旋转矩阵和平移矩阵的乘积R·T也是一个4×4的矩阵，这个矩阵代表了一次平移变换和一次旋转变换效果的叠加；如果局部坐标系还要继续变换，只要将新的变换矩阵按照顺序左乘这个矩阵，得到的新矩阵能够表示之前所有变换效果的叠加，这个矩阵称为「模型矩阵」。

模型矩阵之所以称之为「模型矩阵」，是因为一个模型里所有的顶点往往共享同一个变换，如抛在空中的一个木块，运转机器中的一个齿轮。

考虑一个物体绕任意的轴（而不是三个坐标轴）旋转，如：绕着过顶点(x, y, z)的方向为(a, b, c)的轴，旋转角度θ。这时可用多个变换的叠加构建矩阵： 首先将顶点(x, y, z)平移到原点，绕X轴旋转角度p使指定的旋转轴在x-z平面上，绕Y轴旋转角度q使指定的旋转轴与Z轴重合，绕指定旋转轴（也就是z轴）旋转角度θ，绕Y轴旋转角度-q，绕X轴旋转角度-p,将顶点平移到向量(x，y，z)。p和q的值可以通过(a，b，c)计算出来。综上，变换矩阵为：

齐次坐标还有一个优点，能够区分点和向量：在普通坐标里，点和向量都是由三个分量组成的，表示位置的点坐标(x, y, z)和表示方向的向量(x, y, z)没有区别。而在齐次坐标中，表示位置的点坐标为(x, y, z, 1)，而表示方向的向量为(x, y, z, 0)。平移一个点能够得到平移后的点坐标；而平移一个向量什么都不会发生。比如：

来看个具体的例子：一个绕z轴匀速螺旋匀速上升的立方体，在某一帧中（即在这一帧对应的时刻t下），其向z轴正方向平移的长度和绕z轴旋转的角度分别为：

则模型矩阵（注意上文齐次坐标下的基本变换矩阵）为：

产生这一帧时，只需要计算一次模型矩阵，再将立方体中8个顶点坐标分别左乘该矩阵，就可以得到经过变换后8个顶点的坐标。当一个模型顶点数量增加到上百甚至上千个，模型变换的步骤数也增加到几十步时，模型矩阵的作用就很明显了：如果没有齐次坐标（也当然没有模型矩阵），对每个顶点都需要一步一步地变换：平移的时候加上一个向量，旋转的时候左乘一个矩阵，才能得到变换后的顶点坐标；而模型变换只需要计算一次模型矩阵（当然也是一步一步的），然后每个顶点左乘模型矩阵就可以直接得到变换后的坐标了。

视图矩阵

相比点的世界坐标，我们更关心点相对于观察者的位置（视图坐标）。如果观察者置于原点处，面向Z轴负半轴，那么点的世界坐标就是其视图坐标。观察者的位置和方向会变化，看上去就好像整个世界的位置和方向发生变化了一样，所以我们将世界里的所有模型看作一个大模型，在所有模型矩阵的左侧再乘以一个表示整个世界变换的模型矩阵，就可以了。这个表示整个世界变换的矩阵又称为「视图矩阵」，因为他们经常一起工作，所以将视图矩阵乘以模型矩阵得到的矩阵称为「模型视图矩阵」。模型视图矩阵的作用是：乘以一个点坐标，获得一个新的点坐标，获得的点坐标表示：点在世界里变换，观察者也变换后，点相对于观察者的位置。也就是这个点在视图坐标系下的坐标（模型矩阵将顶点从局部坐标系转化到世界坐标系中，视图矩阵将顶点从世界坐标系转化到视图坐标系下）

如果将观察者视为一个模型，那么视图矩阵就是观察者的模型矩阵的逆矩阵。

观察者平移了(tx, ty, tz)，相当于整个世界平移了(-tx, -ty, -tz）。

观察者绕Z轴旋转了角度θ，相当于整个世界绕Z轴旋转了-θ度。

观察者在三个方向等比例缩小了s倍，相当于整个世界等比例放大了s倍。

观察者缩小的情形曾经使我困惑：

一方面，即使人和猫咪的眼睛在同一个位置，人看到的世界和猫咪看到的世界应当是一样尺寸的（虽然人比猫大）；但是直觉告诉我，如果你喝了变猫药水，你应该会觉得整个世界在膨胀，就像视图矩阵所表现的那样。解答是这样：如果在计算机上模拟观察者喝了缩小药水的情形，在屏幕上看到整个世界是膨胀的，因为在那个虚拟的三维空间中，计算机屏幕这个「窗口」也随你（观察者）缩小。

视图矩阵实际上就是整个世界的模型矩阵，这给我一点启发：一个模型可能由多个较小的子模型组成，模型自身有其模型矩阵，而子模型也有自己的局部模型矩阵。考虑一辆行驶中的汽车的轮胎，其模型视图矩阵是局部模型矩阵（描述轮胎的旋转）左乘汽车的模型矩阵（描述汽车的行驶）再左乘视图矩阵得到的。

投影矩阵

投影矩阵将视图坐标系中的顶点转化到平面上。

实际上，投影矩阵先把顶点坐标转化到规范立方体坐标系(Xc-Yc-Zc)中，也就是将四棱锥台体空间映射到规范立方体中。规范立方体是x，y，z都处在区间[-1,1]之间的边长为2的立方体，如下所示。顶点在其中的坐标，其x值和y值直接就是顶点在屏幕上的坐标，而z坐标值可以用来表示顶点深度，如果两个不同顶点投影到平面上时重合了，深度可以来确定那个点在前面。

屏幕模拟了一个窗口，你透过这个窗口观察「外面」的世界。你的屏幕是有边缘的，因此你仅仅能观察到世界的一部分，即「相机空间」。相机空间的左、右、上、下边界是受限于屏幕的边缘，同时也设定前、后边界，因为你很难看清太近或太远的东西。相机空间就是上述的四棱锥台体。

主要的有两种投影方式，正射投影和透视投影。前者用于精确制图，如工业零件侧视图或建筑物顶视图，从屏幕上就可以量测平行于屏幕的线段长度；后者用于模拟视觉，远处的物体看上去较小。这里只讨论透视投影，正射投影是类似的。

显然，投影矩阵取决于相机空间的参数。令相机空间的最近处与观察者的距离为near，而最远处与观察者距离为far，屏幕宽高比为aspect，水平视角为fov，通过原理简单和略微繁杂的计算（涉及三角函数和相似三角形），就可以求出投影矩阵：

注意，规范立方体是左手坐标系的，所以上述矩阵的第3行第3列中会出现负号。

最后，根据投影矩阵×视图矩阵×模型矩阵求出模型视图投影矩阵，顶点坐标乘以该矩阵就直接获得其在规范立方体中的坐标了。这个矩阵通常作为一个整体出现在着色器中。