大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

过程监控中会用到很多中方法，如主成分分析（PCA）、慢特征分析（SFA）、概率MVA方法或独立成分分析（ICA）等为主流算法。

其中PCA主要多用于降维及特征提取，且只对正太分布（高斯分布）数据样本有效；SFA被用来学习过程监控的时间相关表示，SFA不仅可以通过监测稳态分布来检测与运行条件的偏差，还可以根据时间分布来识别过程的动态异常，多用于分类分析；概率MVA方法，多以解决动力学、时变、非线性等问题。

今天要介绍的是独立成分分析（ICA），由浅入深，细细道来。

此外文末还附有ICA可实现的代码哟~不要错过

独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）

基本原理

在信号处理中，独立成分分析（ICA）是一种用于将多元信号分离为加性子分量的计算方法。这是通过假设子分量是非高斯信号，并且在统计上彼此独立来完成的。ICA是盲源分离的特例。一个常见的示例应用程序是在嘈杂的房间中聆听一个人的语音的“ 鸡尾酒会问题 ”。

首先，引入一下经典的鸡尾酒宴会问题（Cocktail Party Problem）。

如下图所示，假如在我们的Party中有$n$个人，他(她)们可以同时且互相说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据 ${\mathrm{X}}^{(i)}=\left(x_1^{(i)},x_2^{(i)},\dots ,x_n^{(i)}\right);(i=1,\dots ,m)$，其中$i$表示采样的时间顺序，也就是说共得到了$m$组采样，每一组采样都是$n$维的，得到的是一个 $n\ast m$ 的数据矩阵。

我们的目标是：单独从这$m$组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

手残灵魂画师原图之鸡尾酒宴会

这里我们还需要另一组信息，那就是声音信号。我们把每个人的声音信号，那么也就是有$n$个信号源$S=(s_1,s_2,...,s_n{)}^T，s\in {\mathfrak{R}}^n$，且每个人发出的声音都是相互独立的。同样我们做了$m$组采样。

假设我们令一个未知的混合系数矩阵（mixing coefficient matrix）为$A$，用来组合叠加信号$S$，
$$X=AS$$
这里的$X$不是一个向量，是一个矩阵。其中的列向量是$x^{(i)}=A{s}^{(i)}$。

由此我们可知每一个$x^{(i)}$都是由$s^{(i)}$的分量线性表示的。

目前我们需要明确一点，只有$X$是已知的可测量的（由麦克风得到），其中$A、S$均为未知条件，我们要想办法根据$X$来推出$S$值。这个过程也称作为盲信号分离。

由于求矩阵的逆在实际运算中会出现一些问题，那么我们令$H=A^{-1}$，则 $s^{(i)}=A^{-1}{x}^{(i)}=H{x}^{(i)}$。

其中我们$H$可表示为，
$$\left[\begin{array}{ccc}& h_1^T& \\ & ...& \\ & h_n^T& \end{array}\right]$$

$h_i\in {\mathfrak{R}}^n$，将 $H$ 写成向量的形式。由此可得，
$$s_j^{(i)}=h_j^T{x}^{(i)}$$

ICA的不确定性（ICA ambiguities）

由于$h$和$s$都不确定，那么在没有先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。

比如上面的公式$s=hx$。当 $h$ 扩大两倍时，$s$ 只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的$s$。同时如果将人的编号打乱，变成另外一个顺序，那么只需要调换A的列向量顺序即可，因此也无法单独确定$s$。这两种情况称为原信号不确定。

还有一种ICA不适用的情况，那就是信号不能是高斯分布的。假设只有两个人发出的声音信号符合多值正态分布，$s\sim N(0,1)$。

简而言之，不合适，不适用于没先验知识的情况。

ICA 算法

下面直接上ICA算法。

独立成分分析 ICA(Independent Component Correlation Algorithm)是一种函数，X为n维观测信号矢量，S为独立的m（m<=n)维未知源信号矢量，矩阵A被称为混合矩阵。ICA的目的就是寻找解混矩阵W（A的逆矩阵），然后对X进行线性变换，得到输出向量U。

这里使用最大似然估计来解释算法，我们假定每个$s_i$有概率密度$p_s$，那么给定时刻原信号的联合分布就是
$$\mathrm{p}(\mathrm{s})=\prod _{i=1}^n{p}_s\left(s_i\right)$$
此公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。

有了$p(s)$，我们可以求得$p(x)$
$$\mathrm{p}(\mathrm{x})={\mathrm{p}}_s(Hx)|\mathrm{H}|=|\mathrm{H}|\prod _{i=1}^n{p}_s\left(h_i{}^{T}x\right)$$
左边是每个采样信号$x$的概率，右边是每个原信号概率的乘积的$|H|$倍。

若没有先验知识，我们无法求得$H$和$s$。

因此我们需要知道$p_s(s_i)$，我们打算选取一个概率密度函数赋给$s$，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在[0,1]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定$s$的累积分布函数符合sigmoid函数
$$g(s)=\frac{1}{1+e^{-s}}$$
求导可得，
$$p_s(s)=g^{\prime }(s)=\frac{e^s}{{\left(1+e^s\right)}^2}$$
这就是$s$的密度函数。此时的$s$是实数。

要是我们预先知道$s$的分布函数，那就不用假设了，但在未知的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。

由于上式中$p_s(s)$是个对称函数，因此E[s]=0（s的均值为0），那么E[x]=E[As]=0，x的均值也是0。

现在我们知道了$p_s(s)$，下面开始求 $H$。

采样后的训练样本为${\mathrm{X}}^{(i)}=\left(x_1^{(i)},x_2^{(i)},\dots ,x_n^{(i)}\right);(i=1,\dots ,m)$，使用前面得到的$x$的概率密度函数，得其样本对数似然估计：
$$\ell (H)=\sum _{i=1}^m\left(\sum _{j=1}^n\log g^{\prime }\left(h_j^T{x}^{(i)}\right)+\log |H|\right)$$
其中，括号里的一大堆为$p(x^{(i)})$，然后再对$H$进行求导操作。在上式中包含有行列式，对行列式|W|进行求导的方法可参考这里。

最终得到的求导结果公式（很复杂很繁琐–心情）：
$$H:=H+\alpha \left(\left[\begin{array}{c}1-2g\left(h_1^T{x}^{(i)}\right)\\ 1-2g\left(h_2^T{x}^{(i)}\right)\\ ⋮\\ 1-2g\left(h_n^T{x}^{(i)}\right)\end{array}\right]x^{(i{)}^T}+{\left(H^T\right)}^{-1}\right)$$
其中$\alpha$表示的是梯度上升速率，可自定义。

当通过多次迭代后，可求出$H$，便可得到$s^{(i)}=H{x}^{(i)}$来还原出原始信号。

举个Paper的栗子

下面是$s=2$的原始信号：

下面为我们观测到的信号：

然后，再通过ICA还原后的信号为：

MATLAB代码实现

MATLAB代码：
Fast ICA

% Input：X 行变量维数，列采样个数；需要对原始矩阵转置
% Output：Sources重构的原信号, Q白化矩阵, P白化信号解混矩阵
function [Sources, Q, P] = FastICA(X, P)
% 白化处理
[dim, numSample] = size(X);
Xcov = cov(X');
[U, lambda] = eig(Xcov);
Q = lambda^(-1/2)*U';
Z = Q*X;
% FastICA
maxiteration = 10000; %最大迭代次数
error = 1e-5; % 收敛误差
% P = randn(dim,dim); % 随机初始化P，并按照列更新
for k = 1:dim
Pk = P(:,k);
Pk = Pk./norm(Pk); % 向量归一化
lastPk = zeros(dim,1); % 0不需要再归一化
count = 0;
while abs(Pk - lastPk)&abs(Pk + lastPk) > error
count = count + 1;
lastPk = Pk;
g = tanh(lastPk'*Z); % g(y)函数
dg = 1 - g.^2; % g(y)的一阶导函数
%-------------------------------核心公式------------------------------------        
Pk = mean(Z.*repmat(g,dim,1), 2) - repmat(mean(dg),dim,1).*lastPk;
Pk = Pk - sum(repmat(Pk'*P(:,1:k-1),dim,1).*P(:,1:k-1),2);
Pk = Pk./norm(Pk);
%--------------------------------------------------------------------------       
if count == maxiteration
fprintf('第%d个分量在%d次迭代内不收敛！\n',k,maxiteration);
break;
end
end
P(:,k) = Pk;
end
Sources = P'*Z;
% end

此外还有基于故障诊断的ICA算法代码实现->在这里

下面给出部分代码：

% 基于ICA的故障诊断
clear;clc;close all;
load('MPD2000.mat');
Xnormal = MPD0';
% 数据归一化
[dim, numSample] = size(Xnormal);
XnormalMean = mean(Xnormal, 2);
XnormalStd = std(Xnormal, 0, 2);
XnormalNorm = normalization(Xnormal, XnormalMean, XnormalStd);
% 正常数据计算 解混矩阵W
% P = rand(dim,dim)*100;
load('P.mat');
[S, Q, P] = FastICA(XnormalNorm, P);
W = P'*Q;
% ------------------------利用2范数大小对W的行重新排列---------------------
Wnorm = zeros(dim,1);
for k = 1:dim
Wnorm(k) = norm(W(k,:));
end
[Wnorm, indices] = sort(Wnorm, 'descend');
% -------------------------确定主导成分Sd与参与成分Se----------------------
threshold = 0.80;
percentage = cumsum(Wnorm)./sum(Wnorm);
for k = 1:dim
if percentage(k) > threshold
break;
end
end

效果如下：

References

• https://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/19/2021071.html
• https://baike.baidu.com/item/ICA/4972405?fr=aladdin
• https://spaces.ac.cn/archives/2383
• A. Hyva¨rinen, E. Oja*. Independent component analysis: algorithms and applications.

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