线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解线性代数之矩阵秩的求法K阶子式在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。不难发现矩阵A有个个k阶子式。比如有矩阵A比如取第1行,第3行,第1列,第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作:即其中的一个2阶子式是:矩阵的秩设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0,则D是该矩阵的最高阶非零子式。非..

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线性代数之矩阵秩的求法

K阶子式的定义

在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。

不难发现矩阵A有个https://img-blog.csdnimg.cn/20210306203127695.png 个k阶子式。

 比如有矩阵A https://img-blog.csdnimg.cn/20210816151222913.png

比如取第1行,第3行,第1列,第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 :https://img-blog.csdnimg.cn/2021081615135032.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoZW5saWFuZzE5ODU=,size_16,color_FFFFFF,t_70

即其中的一个2阶子式是: https://img-blog.csdnimg.cn/20210816151411415.png

矩阵秩的定义

设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0,则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点:

  •  R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
  • r(A) = m 取了所有的行,叫行满秩
  • r(A) = n 取了所有的列,叫列满秩
  • r(A) < min{m,n}则叫做降秩
  • A是方阵,A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0,所以可逆)
  • r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式为0
  • 矩阵A(m乘n阶)左乘m阶可逆矩阵P,右乘n阶可逆矩阵Q,或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
  • 对矩阵实施(行、列)初等变换不改变矩阵的秩
  • 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
  • A的秩等于A转置的秩
  • 任意矩阵乘可逆矩阵,秩不变

矩阵秩的求法

定义法

该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1(示例一),求下列矩阵的秩:

A=线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

针对矩阵A,我们先找它的一个3阶子式看看是否为0,比如我们找的是

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

很显然该三阶子式等于-1≠0,所以该矩阵的秩是3。

因为当前矩阵没有4阶子式子,所以3是该矩阵的最高阶。

#Sample2(示例二):已知矩阵A

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解 ,如果R(A)<3,求a。

Step1:这种已知矩阵的秩求参数的题目需要借助秩的定义。因为当前矩阵A是3阶的,而R(A)又小于3,那么A的三阶子式(即A本身)为0。

Step2:可按照行(列)将第2、3行(列)都加到第1行(列)上去,然后提取公因子a+2,

Step3:再以第1行(列)为轴,消除其它行(列)进而得到

Step4:(a+2)线性代数之矩阵秩的求法与示例详解 =0 所以a=-2或者a=1。

类似的,#Sample3(示例三)如果如下的矩阵A的秩R(A)等于3那么k等多少呢?

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

思路:该题的思路跟上例类似,不过这里解出的k(k=1或者k=-3)需要带回原矩阵里核验下,而k=1时R(A)=1和题目的条件冲突,所以k只能为-3。

阶梯型数非零行数

分两步:

第一步先将原矩阵化简成阶梯型矩阵

第二步数新矩阵的非零行行数,该函数即对应原矩阵的秩。

#Sample4(示例四):示例,求如下矩阵A的秩

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

Step1:第1行的-2倍加到第2行上去、第1行的1倍加到第三行上去,于是得到

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

Step2:针对上述矩阵,将第2行加到第3行上去,于是得到

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

Step3:此时我们已经能输出非0行的函数即2,所以矩阵A的秩是2。

阶梯型画台阶

我们可以借助阶梯的图形化方式勾出台阶数,见下图示例#Sample5(示例五):

线性代数之矩阵秩的求法与示例详解  

:1 画阶梯(台阶下的元素全为0)数台阶,台阶水平方向可跨多列,垂直(列)方向不能跨多行(即一次只能有1个台阶)。

2 该方法本质上属于阶梯型,只是操作时以图形化数台阶的方式。

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