二叉树性质盘点

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

=========================================================================================

基础部分
=========================================================================================
图论中的定义：

二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

=========================================================================================

二叉树常用术语：

结点 数据元素的内容及其指向其子树根的分支统称为结点。
结点的度 结点的分支数。
终端结点（叶子） 度为0的结点。
非终端结点 度不为0的结点。
结点的层次 树中根结点的层次为1，根结点子树的根为第2层，以此类推。
树的度 树中所有结点度的最大值。
树的深度 树中所有结点层次的最大值。
有序树、无序树 如果树中每棵子树从左向右的排列拥有一定的顺序，不得互换，则称为有序树，否则称为无序树。
森林 是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。
在树结构中，结点之间的关系又可以用家族关系描述，定义如下：
孩子、双亲 结点子树的根称为这个结点的孩子，而这个结点又被称为孩子的双亲。 
子孙 以某结点为根的子树中的所有结点都被称为是该结点的子孙。
祖先 从根结点到该结点路径上的所有结点。
兄弟 同一个双亲的孩子之间互为兄弟。
堂兄弟 双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
满二叉树：
如果一个深度为K的二叉树拥有2K-1个结点，则将它称为满二叉树。
完全二叉树：有一棵深度为h，具有n个结点的二叉树，若将它与一棵同深度的满二叉树中的所有结点按从上到下，从左到右的顺序分别进行编号，且该二叉树中的每个结点分别与满二叉树中编号为1~n的结点位置一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。

=========================================================================================
二叉树的重要性质：

(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。
h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
（7）设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i

=========================================================================================

常用二叉树
二叉树常被用于实现二叉查找树（又叫二叉搜索树）和二叉堆。
二叉搜索树：
二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； （3）左、右子树也分别为二叉排序树；

C++实现二叉搜索树的常用操作

二叉堆：

之前我已经分析过二叉堆排序：

堆排序算法分析
堆 的取最值删除操作和插入操作