最长上升子序列 LIS算法实现[通俗易懂]

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最长上升子序列LIS算法实现

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升（不下降）子序列

有两种算法复杂度为O(n*logn)和O(n^2)。在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D1..Dlen查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来算法相比没有任何进步。但是由于D的特点(2)，在D中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题。
　有两种算法复杂度为O(n*logn)和O(n^2)
O(n^2)算法分析如下
　　（a[1]…a[n] 存的都是输入的数）
　　1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；
　　2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：
　　（1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n].
　　（2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
　　3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
　　在a[t+1],a[t+2],…a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。
　　4、为算法上的需要，定义一个数组：
　　d:array [1..n,1..3] of integer;
　　d[t,1]表示a[t]
　　d[t,2]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度
　　d[t,3]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置
最长不下降子序列的O(n*logn)算法
　　先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[t] = 0(t = 1, 2, …, len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, …, t – 1, 且A[j] < A[t])。
　　现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
　　(1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y]
　　此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
　　很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] … A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
　　再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
　　注意到D[]的两个特点：
　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < … < D[n]。
　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有D[j] < A[t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。
　　在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！
　　这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

最长上升子序列LIS算法实现 

最长上升子序列问题是各类信息学竞赛中的常见题型，也常常用来做介绍动态规划算法的引例，笔者接下来将会对POJ上出现过的这类题目做一个总结，并介绍解决LIS问题的两个常用算法(n^2)和(nlogn).

问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7….an,求它的一个子序列（设为s1,s2,…sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1<s2<s3<…<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长的长度。（为了简化该类问题，我们将诸如最长下降子序列及最长不上升子序列等问题都看成同一个问题，其实仔细思考就会发现，这其实只是<符号定义上的问题，并不影响问题的实质）

例如有一个序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最长上升子序列就是 1 3 4 8 长度为4.

算法1(n^2):我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止，然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。

下面是模板：

//最长上升子序列(n^2)模板
//入口参数：1.数组名称 2.数组长度（注意从1号位置开始）
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{

int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{

m=0;
for(j=1;j<i;j++)
{

if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}

算法2(nlogn):维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道，只要当前考察的这个数比c[i]大，那么当前这个数一定能通过c[i]构成一个长度为i+1的上升子序列。当然我们希望在C数组中找一个尽量靠后的数字，这样我们得到的上升子串的长度最长，查找的时候使用二分搜索，这样时间复杂度便下降了。

模板如下：

//最长上升子序列nlogn模板
//入口参数:数组名+数组长度，类型不限，结构体类型可以通过重载运算符实现
//数组下标从1号开始。
/**//BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
template<class T>
int bsearch(T c[],int n,T a)
{

int l=1, r=n;
while(l<=r)
{

int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 换为: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template<class T>
int LIS(T a[], int n)
{

int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{

if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 换为: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 换为: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}