matlab 二分法区间,多区间二分法[通俗易懂]

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预备知识　二分法

这里介绍一种多区间二分法，可以求出连续函数在某区间内几乎全部的根．方法就是把这个区间等分为若干个相等的小区间，然后分别判断这些小区间两端函数值的符号，对所有两端异号的区间使用二分法即可．显然，小区间的个数越多，越有可能找到所有的根．例程如下．

代码 1：bisectionN.m

函数的前两个输入变量分别是需要求根的函数句柄和求根区间(二元行矢量或列矢量)，第三个变量 $N$ 是子区间端点的个数(即子区间的个数加一)．函数中先求出所有的端点 x，以及对应的函数值 y，然后画图．第 6-7 行寻找所有两端异号或有一端为 0 的区间的序号，然后在第 10 行的循环中对这些区间逐个使用二分法．为了提高运算效率，这里并没有使用 “二分法” 中的例程，而是使用了 Matlab 自带的 fzero 函数．

bisectionN 的画图功能是为了让用户判断是否有可能出现漏根，以下举两个例子说明．>> f = @(x)exp(-0.2*x)*sin(x);

>> roots = bisectionN(f, [0, 15], 50)

roots = 0 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664

图 1：运行结果

运行结果如图 1，由于画出的曲线较为光滑，可判断漏根的可能性很小．再看另一个例子>> f = @(x)sin(1/x);

>> roots = bisectionN(f, [0, 0.3], 50)

roots = 0.0245 0.0398 0.0455 0.0531 0.0637 0.0796 0.1061 0.1592

图 2：运行结果

我们已经知道函数 $ \sin\left(1/x\right) $ 在该区间上有无数个根，且越接近 $x = 0$，相邻根之间的距离越小．运行结果如图 2， 可见在区间 $[0, 0.1]$ 内，子区间端点的函数值非常不平滑，极有可能出现漏根．为了求得更多的根，我们可以增加子区间的个数．

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