补码加、减运算规则「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

在计算机中，通常总是用补码完成算术的加减法运算。其规则是：
　　[X+Y]补= [X]补 + [Y]补 ，[X-Y]补= [X]补 – [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

这表明，有了补码表示的被加（减）数和加（减）数，要完成计算补码表示的二数之和或二数之差，只需用二数的补码直接执行加减运算即可，符号位与数值位同等对待，一起参加运算，若运算结果不溢出，即不超出计算机所能表示的范围，则结果的符号位和数值位同时为正确值。此外，还可以看到，实现减运算时，用的仍是加法器线路，把减数的负数的补码送加法器即可。在有了一个数的补码之后，求这个数的负数的补码，是简单地把这个数的补码逐位取反再在最低位加1即可得到。例如，[Y]补=101101，则[-Y]补=010011，这大大简化了加减运算所用的线路和加减运算的实现算法。

下面的问题是如何检查加减运算中的溢出问题。通常有三种表述方式（说法）：
　　(1) 两个符号相同的补码数相加，如果和的符号与加数的符号相反，或两个符号相反的补码数相减，差的符号与减数的符号相同，都属于运算结果溢出。这种判别方法比较复杂，要区别加还是减两种不同运算情况，还要检查结果的符号与其中一个操作数的符号的同异，故很少使用；

(2) 两个补码数相加减时，若最高数值位向符号位送的进位值与符号位送向更高位的进位值不相同，也是运算结果溢出。

(3) 在采用双符号位（如定点小数的模4补码）运算时，若两个符号位的得值不同（01或10）则是溢出。01表明两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为”上溢”；10表明两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为”下溢”；双符号位的高位符号位，不管结果溢出否，均是运算结果正确的符号位，这个结论在乘法运算过程中是很有实际意义的。请注意，在采用双符号位的方案中，在寄存器和内存储器存储数据时，只需存一位符号，双符号位仅用在加法器线路部分。

再次强调，这三种不同说法是对同一个事实的略有区别的表述，实现时用到的线路可以有所区别，但问题的实质是完全一样的。请看 [X]补 + [Y]补 的运算情况：

01011 　　 　　　　10101 　　 　　　10100 　　　　
　+ 01000 　　　　　 + 11000 　　　　 + 11001 　　　　
　_______________________________________　 　
　　10011 　　　　　　101101 　　　　　101101 　　　　
　　（1） 　　　　　　（2） 　　　　　　（3）

10111 　　　　　　001011 　　　　　110111
　+ 10101 　　　　　+ 001000 　　　　+ 110101

101000 　　　　　　010011 　　　　 1101100
　　（4） 　　　　　　（5） 　　　　　　（6）

这全都是溢出情况，前4个使用一个符号位，后2个使用二个符号位。用前面说的任何一种表述解释这里的溢出都是可以的。例如，对于（1），从正加正的得负，或数据位向符号位送的进位值为1，而符号位送向更高位的进位值却为0，二者不相同，或在（5）中使用双符号位方案时，其双符号位结果为01，都是运算结果溢出。

凡补码加减运算其结果不属于上述情况的，均不是溢出，结果的符号位和数值位均正确。这里虽然讨论的都是加法运算，对减运算亦适用。正减负等同正加正，正减正等同正加负，正如前面说过的，减运算也是用加法器完成的。例如：
　　
　　01011 　　　　　11101 　　　　　001011 　　　　111101
　+ 00100 　　　　+ 11010 　　　　+ 000100 　　　+ 111010
　　
　　01111 　　　　　10111 　　　　　001111 　　　　110111
　　（1） 　　　　　（2） 　　　　　 （3） 　　　　 （4）

（1）、（2）使用一位符号位，（3）、（4）使用二位符号位，符号位送向更高位的进位值，不论其值为0或为1一律在取模后丢弃。

有了上述说明，就可以用图2.5的逻辑线路完成二补码数的加减运算。
运算前，X、Y寄存器分别存储被加（减）数 和 加（减）数，计算结果存回X寄存器；F为加法器，能在命令X→F和Y→F信号的控制下接收两个寄存器中的数据并完成加法运算，运算结果在F→X命令信号的控制下接收回X寄存器中。

为实现减运算，应将Y寄存器中补码数据的负数表示送到加法器F，这可以通过送Y寄存器中每位数据的反码并在F的最低位给出进位1输入信号变通完成，用/Y→F和1→F控制命令实现。