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伽马函数 ![\Gamma \left ( \alpha \right )](https://javaforall.cn/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
称 为伽马函数,其中参数
![\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi }](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
![\Gamma \left ( \alpha +1 \right )=\alpha \Gamma \left ( \alpha \right )](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
![\Gamma \left ( n+1 \right )=n \Gamma \left ( n \right )=n! \: ;](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
![\Gamma \left ( n \right )=\left ( n-1 \right )!](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
余元公式:对于 ,有
- 与贝塔函数
的关系 :
- 对于
伽马分布 ![Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
背景:
若一个元器件能抵挡一些外来冲击,但遇到第k次冲击即告失效,则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布 .
密度函数:
密度函数图如下所示,
数学期望与方差
与指数分布
的关系
若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即,
若 ,则
,其中
【独立同分布】
卡方分布 ![\chi ^{2}\left ( n \right )](https://javaforall.cn/wp-content/plugins/wp-fastest-cache-premium/pro/images/blank.gif)
与伽马分布的关系
称 的伽马分布为自由度为n的卡方分布,即
密度函数
期望与方差
注:后期再讲数理统计中的t分布与F分布时,再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布:卡方分布(χ2分布)、t分布和F分布
贝塔分布
背景
很多比率,比如,产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率….都是在区间(0,1)上取值的随机变量,可用beta分布来描述这些随机变量
贝塔函数
称 为贝塔函数,其中参数