伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导伽马函数称为伽马函数,其中参数,伽马函数具有如下性质: ,n为自然数;或写作余元公式:对于,有与贝塔函数的关系: 对于;伽马函数是严格凹函数。 x足够大时,可以用Stirling公式来计算Gamma函数值:伽马分布背景:若一个元器件能抵挡一些外来冲击,但遇到第k次冲击即告失效,则第k次冲击来到的时间X(寿…

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伽马函数 \Gamma \left ( \alpha \right )

称  \Gamma \left ( \alpha \right ) =\int_{0}^{+\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\mathrm{d}x  为伽马函数,其中参数\Gamma \left ( 1 \right )=1

  • \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi } 
  • \Gamma \left ( \alpha +1 \right )=\alpha \Gamma \left ( \alpha \right )
  • \Gamma \left ( n+1 \right )=n \Gamma \left ( n \right )=n! \: ;  ,n为自然数;或写作 \Gamma \left ( n \right )=\left ( n-1 \right )! 
  • 余元公式:对于 x\in \left ( 0,1 \right ) ,有 \Gamma \left ( 1-x \right ) \Gamma \left ( x \right )=\frac{\pi }{sin\, \pi x}

    • 与贝塔函数 B\left ( m,n \right ) 的关系 : B\left ( m,n \right ) =\frac{\Gamma \left ( m \right )\Gamma \left ( n \right )}{\Gamma \left ( m+n \right )}
    • 对于 \Gamma \left ( x\right )\sim \sqrt{2\pi }e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}} 

     

    伽马分布 Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )

    背景:

    若一个元器件能抵挡一些外来冲击,但遇到第k次冲击即告失效,则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布 Ga\left ( k,\lambda \right ) .

    密度函数:

    伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

    密度函数图如下所示,

    伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

    数学期望与方差

    E(X)=\frac{\alpha }{\lambda}; Var(X)=\frac{\alpha }{\lambda^{2}}

    与指数分布Exp\left ( \lambda \right ) 的关系

    若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即,

    X\sim Ga\left ( k,\lambda \right ) ,则X= X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k} ,其中 X_{i}\sim Exp\left ( \lambda \right ),\: i=1,2,...,k 【独立同分布】

    卡方分布 \chi ^{2}\left ( n \right )

    与伽马分布的关系

     称\alpha =\frac{n}{2};\: \lambda =\frac{1}{2} 的伽马分布为自由度为n的卡方分布,即Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)

    密度函数

    伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

     

    期望与方差

    E\left ( X \right )=n;\: Var\left ( X \right )=2n 

    注:后期再讲数理统计中的t分布与F分布时,再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布:卡方分布(χ2分布)、t分布和F分布

    贝塔分布 Be\left ( \alpha,\beta \right ) 

    背景

    很多比率,比如,产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率….都是在区间(0,1)上取值的随机变量,可用beta分布来描述这些随机变量

    贝塔函数 B\left ( a,b \right ) 

    称  B\left ( a,b \right ) =\int_{0}^{1}x^{a-1}\left ( 1-x \right )^{b-1}\mathrm{d}x 为贝塔函数,其中参数 

  •  B\left ( a,b \right ) =\frac{\Gamma \left ( a \right )\Gamma \left ( b \right )}{\Gamma \left ( a+b \right )}
  • 密度函数 

    0< x< 1 时,为f(x);否则为0.

    伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

    其中\alpha ,b就是\beta 】

    伽马分布与贝塔分布转换关系_伽马分布期望推导

     贝塔分布是定义在(0,1)区间上的连续概率分布,是伯努利分布和二项式分布共轭先验分布。

    数学期望与方差

    E\left ( X \right )=\frac{a}{a+b};\: Var\left ( X \right )=\frac{ab}{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+b+1 \right )}

    与均匀分布的关系

    当 a=b=1 时的贝塔分布就是区间(0,1)上的均匀分布,即 Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right ) .

     

    参考 Gamma/伽马函数,伽马分布 ; 伽玛函数

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