高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分§5.4  定积分的换元法一、换元公式【定理】若1、函数在上连续;2、函数在区间上单值且具有连续导数;3、当在上变化时,的值在上变化,且 ,  则有                          (1)证明:(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续,故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。假设是在上的一个原函数,据

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§5.4  定积分的换元法

一、换元公式

定理】若

1、函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续;

2、函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上单值且具有连续导数;

3、当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上变化时,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的值在高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上变化,且

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ,  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

则有

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分                          (1)

证明:

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的一个原函数,据牛顿—莱布尼兹公式有

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另一方面, 函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的导数为

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这表明: 函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的一个原函数, 故有:

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从而有    高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

对这一定理给出几点注解:

1、用替换高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,将原来变量高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分代换成新变量高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分后,原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的原函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分后,不必象不定积分那样,将高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分变换成原变量高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的函数,只需将新变量高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的上下限代入高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分中然后相减即可。

2、应注意代换的条件,避免出错。

(1)、高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分单值且高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分连续;

(2)、高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

3、对高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分于时, 换元公式(1)仍然成立。

 

【例1】求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 

【解法一】 令 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分;当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

又当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时,有 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

且变换函数 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上单值,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续,

由换元公式有

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【解法二】令 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分;  当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

又当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

且变换函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上单值, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续,

由换元公式有

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注意:

在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来, 即

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【例2】求高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:设高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分;当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。

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二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

【例3】证明

1、若高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续且为偶函数,则高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

2、若高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续且为奇函数,则高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

证明:由定积分对区间的可加性有

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 作替换 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 得

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故有

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为偶函数, 则 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为奇函数, 则  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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【例4】若高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续, 证明:

1、高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

2、高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

并由此式计算定积分  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

1、证明:设 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

2、证明: 设 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

【例5】求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:令 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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故  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

评注:

这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。

§5.5  定积分的分部积分法

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上具有连续的导函数, 则

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而         高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

故         高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

这就是定积分的分部积分公式

也可写成形式   高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

【例1】求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解: 令 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ,  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ,  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时,  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分; 当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

【例2】计算定积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ( 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为自然数 )。

解:设 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ,                     高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ,     高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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这样,我们得到了递推公式,依此公式,再计算出两个简单的初值高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,即可求得高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,       高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为偶数,有

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引入记号

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

同理,若高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为奇数,有

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综合便得到著名的华里斯公式一

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由于 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分, 故

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【例3】求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ( 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 为自然数 )

解:令高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 ; 当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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【例4】(华里斯公式二)

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证明:设 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时, 有

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高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

如果 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为偶数, 则有

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如果 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分为奇数,则

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综合得到著名而常用的华里斯公式二

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华里斯公式的应用十分地广泛,掌握好它可以方便地求许多定积分。

【例5】求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:应用华里斯公式二, 有

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§5.7  广义积分

引例计算曲线 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。

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按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大

该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验:

编程计算高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分的值,并作出这些值的图象,观察图象是否逼近于一条固定的直线。

请运行matlab程序gs0504.m

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一、积分区间为无穷区间的广义积分

【定义一】

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续, 任取 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,如果极限

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

存在,则称此极限值为函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在无穷区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的广义积分,并记作高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,亦即

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

此时,也称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分收敛;

如果上述极限不存在, 则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。

类似地

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续,任取 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,如果极限

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

存在,则称此极限值为函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在无穷区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的广义积分,

 记作 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,亦即

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

此时,也称广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 收敛;如果上述极限不存在, 则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。

类似地

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续,如果广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 与 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

同时收敛,则称上述两广义积分之和为函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在无穷区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的广义积分,记作高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

亦即

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分这时,也称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。

上述积分称为无穷限的广义积分

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【反例】 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

但 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散,因此,高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分是发散的。

【例1】计算广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

显然,无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。

【例2】计算广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:

   高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

观察上述解题过程,极限符号直到最后才参与运算,为了方便,我们可以将之写成如下形式:

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

请注意:将上下限高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分代入原函数时,意味着取极限

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

这样约定,并未改变无穷限广义积分的实质,却使记号简洁了许多,且与定积分的计算程序基本上一致。

【例3】证明广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时收敛; 当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。

解:若 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

   高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

若 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

二 无界函数的广义积分

【定义二】

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续, 且高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,取 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

如果极限高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 存在,则称此极限值为函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的广义积分,记作 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分。亦即

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

此时,也称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。点高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分称之为奇点

类似地,有

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上连续,且高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,取 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,如果极限高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分存在,则称此极限值为函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分在区间高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上的广义积分,记作 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分。亦即

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

此时, 也称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分收敛;如果上述极限不存在, 则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。点 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 称之为奇点

类似地, 又有

设函数高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分上除高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分外均连续, 且高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

如果两个广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 与  高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 均收敛, 则定义广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

否则称广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散。点 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 称之为奇点

注明:上式中的高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分不一定是相同的。

例4求 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

解:高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 故 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 奇点。

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

 

注明:为了简便,上述过程也可写成

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

【例5】讨论高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 的敛散性。

解:高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分,故 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 是奇点。

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

故 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分发散,从而, 原广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分亦发散。

此题若忽视高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分是奇点,将积分当作普通积分来处理,会导致错误解法

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【例6】证明广义积分高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时收敛;当高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时发散。

解:当 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时, 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分是奇点,

广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

故广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 发散;

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 时,

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

故广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 收敛;

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分时,

高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分

故广义积分 高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 发散;

综合得:

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