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§5.4 定积分的换元法
一、换元公式
【定理】若
1、函数在
上连续;
2、函数在区间
上单值且具有连续导数;
3、当在
上变化时,
的值在
上变化,且
,
则有
(1)
证明:
(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。
假设是
在
上的一个原函数,据牛顿—莱布尼兹公式有
另一方面, 函数的导数为
这表明: 函数是
在
上的一个原函数, 故有:
从而有
对这一定理给出几点注解:
1、用替换,将原来变量
代换成新变量
后,原定积分的限应同时换成新变量的限。
求出的原函数
后,不必象不定积分那样,将
变换成原变量
的函数,只需将新变量
的上下限代入
中然后相减即可。
2、应注意代换的条件,避免出错。
(1)、在
单值且
连续;
(2)、
3、对于时, 换元公式(1)仍然成立。
【例1】求
【解法一】 令
当时,
;当
时,
。
又当 时,有
且变换函数 在
上单值,
在
上连续,
由换元公式有
【解法二】令
当时,
; 当
时,
。
又当时,
,
且变换函数在
上单值,
在
上连续,
由换元公式有
注意:
在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。
换元公式也可以反过来, 即
【例2】求
解:设,
当 时,
;当
时,
一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
【例3】证明
1、若在
上连续且为偶函数,则
2、若在
上连续且为奇函数,则
证明:由定积分对区间的可加性有
对 作替换
得
故有
若为偶函数, 则
若为奇函数, 则
【例4】若在
上连续, 证明:
1、
2、
并由此式计算定积分
1、证明:设 ,
2、证明: 设 ,
【例5】求
解:令 ,
故
评注:
这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。
§5.5 定积分的分部积分法
设函数,
在区间
上具有连续的导函数, 则
而
故
这就是定积分的分部积分公式。
也可写成形式
【例1】求
解: 令 ,
,
当 时,
; 当
时,
。
【例2】计算定积分 (
为自然数 )。
解:设 ,
,
这样,我们得到了递推公式,依此公式,再计算出两个简单的初值与
,即可求得
。
,
当 为偶数,有
引入记号
同理,若为奇数,有
综合便得到著名的华里斯公式一
由于 , 故
【例3】求 (
为自然数 )
解:令,
当时,
; 当
时,
【例4】(华里斯公式二)
证明:设
当 时, 有
如果 为偶数, 则有
如果 为奇数,则
综合得到著名而常用的华里斯公式二
华里斯公式的应用十分地广泛,掌握好它可以方便地求许多定积分。
【例5】求
解:应用华里斯公式二, 有
§5.7 广义积分
【引例】计算曲线 与
轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为 。
显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验:
编程计算的值,并作出这些值的图象,观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数在区间
上连续, 任取
,如果极限
存在,则称此极限值为函数在无穷区间
上的广义积分,并记作
,亦即
此时,也称广义积分收敛;
如果上述极限不存在, 则称广义积分发散。
类似地
设函数 在区间
上连续,任取
,如果极限
存在,则称此极限值为函数在无穷区间
上的广义积分,
记作 ,亦即
此时,也称广义积分 收敛;如果上述极限不存在, 则称广义积分
发散。
类似地
设函数在区间
上连续,如果广义积分
与
同时收敛,则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间
上的广义积分,记作
。
亦即
这时,也称广义积分
收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分
发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】
但
发散,因此,
是发散的。
【例1】计算广义积分
解:
显然,无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分 。
解:
观察上述解题过程,极限符号直到最后才参与运算,为了方便,我们可以将之写成如下形式:
请注意:将上下限代入原函数时,意味着取极限
这样约定,并未改变无穷限广义积分的实质,却使记号简洁了许多,且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分当
时收敛; 当
发散。
解:若
若
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数 在区间
上连续, 且
,取
,
如果极限 存在,则称此极限值为函数
在区间
上的广义积分,记作
。亦即
此时,也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分
发散。点
称之为奇点。
类似地,有
设函数 在区间
上连续,且
,取
,如果极限
存在,则称此极限值为函数
在区间
上的广义积分,记作
。亦即
此时, 也称广义积分收敛;如果上述极限不存在, 则称广义积分
发散。点
称之为奇点。
类似地, 又有
设函数在
上除
外均连续, 且
,
如果两个广义积分 与
均收敛, 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点
称之为奇点
注明:上式中的与
不一定是相同的。
【例4】求
解:,
故 奇点。
注明:为了简便,上述过程也可写成
【例5】讨论 的敛散性。
解:,故
是奇点。
故 发散,从而, 原广义积分
亦发散。
此题若忽视是奇点,将积分当作普通积分来处理,会导致错误解法
【例6】证明广义积分 当
时收敛;当
时发散。
解:当 时,
是奇点,
广义积分 ,
故广义积分 发散;
当 时,
故广义积分 收敛;
当时,
故广义积分 发散;
综合得:
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