高等数学：第五章 定积分（2）换元积分法 分部积分法 广义积分

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46，售后保障稳定

§5.4  定积分的换元法

一、换元公式

【定理】若

1、函数在上连续；

2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

 ，  

则有

                          (1)

证明：

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有

另一方面， 函数的导数为

这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：

从而有    

对这一定理给出几点注解：

1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。

2、应注意代换的条件，避免出错。

(1)、在单值且连续；

(2)、

3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。

 

【例1】求  

【解法一】 令 

当时，；当时，。

又当  时，有 

且变换函数 在上单值，在上连续，

由换元公式有

 

【解法二】令 

当时， ；  当时， 。

又当时， ，

且变换函数在上单值， 在上连续，

由换元公式有

注意：

在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来， 即

【例2】求

解：设，

当 时，；当  时，

 

一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

【例3】证明

1、若在上连续且为偶函数，则

2、若在上连续且为奇函数，则

证明：由定积分对区间的可加性有

  

对 作替换  得

故有

若为偶函数， 则 

若为奇函数， 则  

【例4】若在上连续， 证明：

1、

2、

并由此式计算定积分  

 

1、证明：设 ，

 

2、证明： 设 ，

  

 

 

【例5】求 

解：令 ，

故  

评注：

这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。

§5.5  定积分的分部积分法

设函数， 在区间上具有连续的导函数， 则

而         

故         

这就是定积分的分部积分公式。

也可写成形式   

 

【例1】求 

解： 令  ，   ，  

当  时，  ； 当  时， 。

 

【例2】计算定积分  ( 为自然数 )。

解：设  ，                     

 ，     

 

这样，我们得到了递推公式，依此公式，再计算出两个简单的初值与，即可求得。

，       

当 为偶数，有

引入记号

同理，若为奇数，有

综合便得到著名的华里斯公式一

由于 ， 故

 

【例3】求  (  为自然数 )

解：令， 

当时，  ； 当  时， 

 

【例4】(华里斯公式二)

 

证明：设 

当  时， 有

如果 为偶数， 则有

如果 为奇数，则

综合得到著名而常用的华里斯公式二

华里斯公式的应用十分地广泛，掌握好它可以方便地求许多定积分。

【例5】求 

解：应用华里斯公式二， 有

  

§5.7  广义积分

【引例】计算曲线 与轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。

按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 。

显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。

该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：

编程计算的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。

请运行matlab程序gs0504.m。

一、积分区间为无穷区间的广义积分

【定义一】

设函数在区间上连续， 任取 ，如果极限

存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作,亦即

此时，也称广义积分收敛；

如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。

类似地

设函数 在区间上连续，任取 ，如果极限

存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，

 记作 ，亦即

此时，也称广义积分  收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。

类似地

设函数在区间上连续，如果广义积分

 与 

同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作。

亦即

这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。

上述积分称为无穷限的广义积分。

【反例】 

但 

发散,因此，是发散的。

【例1】计算广义积分 

解：

  

显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。

【例2】计算广义积分 。

解：

   

观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：

请注意：将上下限代入原函数时，意味着取极限

这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。

【例3】证明广义积分当 时收敛； 当发散。

解：若 

   

若 

二 无界函数的广义积分

【定义二】

设函数 在区间上连续， 且，取 ，

如果极限 存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 。亦即

此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点称之为奇点。

类似地，有

设函数 在区间上连续，且，取 ，如果极限存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即

此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点  称之为奇点。

类似地， 又有

设函数在上除外均连续， 且，

如果两个广义积分  与   均收敛， 则定义广义积分

否则称广义积分发散。点  称之为奇点

注明：上式中的与不一定是相同的。

【例4】求 

解：，

 故  奇点。

 

注明：为了简便，上述过程也可写成

【例5】讨论 的敛散性。

解：,故  是奇点。

故 发散，从而， 原广义积分亦发散。

此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法

【例6】证明广义积分 当时收敛；当时发散。

解：当 时， 是奇点，

广义积分 ，

故广义积分  发散；

当 时，

故广义积分  收敛；

当时，

故广义积分  发散；

综合得：

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/