两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算正交向量  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。  这可以用直角三角形的三边解释:  当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:  如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。正交子空间  正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W…

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正交向量

  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。

  这可以用直角三角形的三边解释:

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。

正交子空间

  正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W正交,那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。

  子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间,或V的正交补,记作:

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正交与垂直

  以我们比较熟悉的三维空间为例,墙角就可以看作一个典型的空间坐标系,两个墙面和地面两两垂直,每个平面都是三维空间中的二维子空间,这是否意味着子空间的正交呢?并不是这样,两个平面垂直并不等同于两个子空间正交,可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上,在墙壁与地面的交接处,沿着接缝方向的向量同属于两个平面,但它们不会自己正交与自己,除非是零向量。

  这样看来,“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确,实际上,正交一定垂直,垂直不一定正交。

  通过平面的例子可以看出,如果两个子空间交于一个非零向量,那么这两个子空间一定不会正交。换句话说,如果两个子空间正交,它们只能交于零向量(单独的点就是零向量,它没有方向,或者说有任意方向,并且模长为0)。

  在同一个平面中正交的例子有哪些呢?

  回顾一下子空间的定义,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件:

  1. 包含0向量;
  2. x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
  3. a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。

  由此可见平面内只有三个子空间:原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了:

  1. 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交;
  2. 原点和所有过原点的直线正交,也和整个平面正交;
  3. 如果两个过原点的向量的点积是0,二者正交。

四个基本子空间的正交补

  先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集:

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  这样会发现,A中的每个行向量都正交于零空间中的x:

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  a(i)表示A中的第i行行向量,a(i)x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然,行空间不仅仅包括这几行,还包括它们的线性组合,只要证明满足加法和数乘封闭性即可:

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  列空间相当于A转置后的行空间,道理是一样的,所以列空间也正和零空间正交。

  A是m×n矩阵,四个基本子空间的正交性可以用下图表示,其中r是矩阵的秩:

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  这相当于把m维空间分割成两个子空间,n维空间分割成另两个子空间,子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法,上图可以看作:

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  以三维空间中为例:

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  A的行向量是线性相关的,A的秩是1,所以行空间是1维的,是一条直线,与之正交的零空间是垂直于行向量的平面,<1, 3, 5>就是这个平面的法向量,由此可以得到平面方程:

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 作者:我是8位的

出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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