两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算正交向量  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。  这可以用直角三角形的三边解释:  当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:  如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。正交子空间  正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46,售后保障稳定

正交向量

  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。

  这可以用直角三角形的三边解释:

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。

正交子空间

  正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W正交,那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。

  子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间,或V的正交补,记作:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

正交与垂直

  以我们比较熟悉的三维空间为例,墙角就可以看作一个典型的空间坐标系,两个墙面和地面两两垂直,每个平面都是三维空间中的二维子空间,这是否意味着子空间的正交呢?并不是这样,两个平面垂直并不等同于两个子空间正交,可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上,在墙壁与地面的交接处,沿着接缝方向的向量同属于两个平面,但它们不会自己正交与自己,除非是零向量。

  这样看来,“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确,实际上,正交一定垂直,垂直不一定正交。

  通过平面的例子可以看出,如果两个子空间交于一个非零向量,那么这两个子空间一定不会正交。换句话说,如果两个子空间正交,它们只能交于零向量(单独的点就是零向量,它没有方向,或者说有任意方向,并且模长为0)。

  在同一个平面中正交的例子有哪些呢?

  回顾一下子空间的定义,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件:

  1. 包含0向量;
  2. x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
  3. a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。

  由此可见平面内只有三个子空间:原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了:

  1. 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交;
  2. 原点和所有过原点的直线正交,也和整个平面正交;
  3. 如果两个过原点的向量的点积是0,二者正交。

四个基本子空间的正交补

  先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  这样会发现,A中的每个行向量都正交于零空间中的x:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  a(i)表示A中的第i行行向量,a(i)x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然,行空间不仅仅包括这几行,还包括它们的线性组合,只要证明满足加法和数乘封闭性即可:

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  列空间相当于A转置后的行空间,道理是一样的,所以列空间也正和零空间正交。

  A是m×n矩阵,四个基本子空间的正交性可以用下图表示,其中r是矩阵的秩:

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  这相当于把m维空间分割成两个子空间,n维空间分割成另两个子空间,子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法,上图可以看作:

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  以三维空间中为例:

 两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

  A的行向量是线性相关的,A的秩是1,所以行空间是1维的,是一条直线,与之正交的零空间是垂直于行向量的平面,<1, 3, 5>就是这个平面的法向量,由此可以得到平面方程:

   两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

 


 作者:我是8位的

出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

扫描二维码关注公众号“我是8位的”

两列向量正交有什么性质线性代数_线性代数正交化怎么算

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/234764.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)
blank

相关推荐

  • Linux安装gcc的四种方法「建议收藏」

    Linux安装gcc的四种方法「建议收藏」相比于windows系统,Linux安装程序就比较复杂了,很多需要root用户才能安装。常见的有以下几种安装方法 源码安装 rpm包安装 yum安装(RedHat、CentOS) apt-get安装(debian,ubuntu) 源码安装以安装gcc为例,登陆https://gcc.gnu.org/,下载自己想要的版本的gcc安装包上传gcc-4.1.2.tar.gz到Linux服务器任意目录,解压解压目录执行shell命令./configurat.

  • windows下面安装Python和pip终极教程「建议收藏」

    windows下面安装Python和pip终极教程「建议收藏」在大二的时候接触过一段时间的Python,最近又开始玩起了这门语言。总的来说,个人很喜欢Python的语言风格,但是这门语言对于windows并不算很友好,因为如果是初学者在windows环境下安装,

  • Python一.Python安装及环境配置(完整教程)「建议收藏」

    Python一.Python安装及环境配置(完整教程)「建议收藏」Windowns操作系统中安装Python一.下载Python1.python官网:https://www.python.org/downloads/下载安装包2.选择版本我这里用安装版(64位)二.双击安装1.这里勾选安装并添加到PAHT,下一步。一直默认就可以安装完成2、查看环境变量是否有python的环境变量在命令窗口输入python-V回车如果出现python版本,那么恭喜…

  • php的安装教程_如何安装php

    php的安装教程_如何安装phptomcat?据说tomcat配PHP效果不是很好..还是换apache吧….apache吗..反正几乎是一路next就可以装好了..不过你如果装了IIS..就要注意端口问题..可能会有冲突

  • 我为什么放弃Go语言

    我为什么放弃Go语言我为什么放弃Go语言?有好几次,当我想起来的时候,总是会问自己:这个决定是正确的吗?是明智和理性的吗?其实我一直在认真思考这个问题。开门见山地说,我当初放弃Go语言,就是因为两个“不爽”:第一,对Go语言本身不爽;第二,对Go语言社区里的某些人不爽。毫无疑问,这是非常主观的结论,但是我有足够详实的客观的论据。

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号