大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。
Jetbrains全家桶1年46,售后保障稳定
正交向量
正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。
这可以用直角三角形的三边解释:
当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:
如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。
正交子空间
正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W正交,那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。
子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间,或V的正交补,记作:
正交与垂直
以我们比较熟悉的三维空间为例,墙角就可以看作一个典型的空间坐标系,两个墙面和地面两两垂直,每个平面都是三维空间中的二维子空间,这是否意味着子空间的正交呢?并不是这样,两个平面垂直并不等同于两个子空间正交,可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上,在墙壁与地面的交接处,沿着接缝方向的向量同属于两个平面,但它们不会自己正交与自己,除非是零向量。
这样看来,“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确,实际上,正交一定垂直,垂直不一定正交。
通过平面的例子可以看出,如果两个子空间交于一个非零向量,那么这两个子空间一定不会正交。换句话说,如果两个子空间正交,它们只能交于零向量(单独的点就是零向量,它没有方向,或者说有任意方向,并且模长为0)。
在同一个平面中正交的例子有哪些呢?
回顾一下子空间的定义,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件:
- 包含0向量;
- x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
- a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。
由此可见平面内只有三个子空间:原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了:
- 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交;
- 原点和所有过原点的直线正交,也和整个平面正交;
- 如果两个过原点的向量的点积是0,二者正交。
四个基本子空间的正交补
先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集:
这样会发现,A中的每个行向量都正交于零空间中的x:
a(i)表示A中的第i行行向量,a(i)x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然,行空间不仅仅包括这几行,还包括它们的线性组合,只要证明满足加法和数乘封闭性即可:
列空间相当于A转置后的行空间,道理是一样的,所以列空间也正和零空间正交。
A是m×n矩阵,四个基本子空间的正交性可以用下图表示,其中r是矩阵的秩:
这相当于把m维空间分割成两个子空间,n维空间分割成另两个子空间,子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法,上图可以看作:
以三维空间中为例:
A的行向量是线性相关的,A的秩是1,所以行空间是1维的,是一条直线,与之正交的零空间是垂直于行向量的平面,<1, 3, 5>就是这个平面的法向量,由此可以得到平面方程:
作者:我是8位的
出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途!
扫描二维码关注公众号“我是8位的”
发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/234764.html原文链接:https://javaforall.cn
【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛
【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...