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【LeetCode】﹝前缀和ி﹞一维、二维前缀和应用
文章目录
在区间范围内统计奇数数目★
【题目】给你两个非负整数 low 和 high 。请你返回 low 和 high 之间（包括二者）奇数的数目。
【示例】
输入：low = 3, high = 7
输出：3
解释：3 到 7 之间奇数数字为 [3,5,7] 。
【解题思路】
利用前缀和思想，high之前的奇数数目减去low之前的奇数数目
class Solution {
public int countOdds(int low, int high) {
return ((high + 1) >> 1) - (low >> 1);
}
}
区域和检索 – 数组不可变★★
【题目】给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i到 j（i ≤ j）范围内元素的总和，包含i、j 两点。
实现 NumArray 类：
NumArray(int[] nums)使用数组nums初始化对象int sumRange(int i, int j)返回数组nums从索引i到j（i ≤ j）范围内元素的总和，包含i、j两点（也就是sum(nums[i], nums[i + 1], ... , nums[j])）
提示：
0 <= nums.length <= 104-105 <= nums[i] <= 1050 <= i <= j < nums.length- 最多调用 104 次
sumRange方法
【示例】
输入：
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出：
[null, 1, -1, -3]
解释：
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))
【解题思路】
class NumArray {
int[] pre;
public NumArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
pre = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
pre[i + 1] = pre[i] + nums[i];
}
}
public int sumRange(int left, int right) {
return pre[right + 1] - pre[left];
}
}
子数组异或查询★★
【题目】有一个正整数数组 arr，现给你一个对应的查询数组 queries，其中 queries[i] = [Li, Ri]。
对于每个查询 i，请你计算从 Li 到 Ri 的 XOR值（即 arr[Li] xor arr[Li+1] xor ... xor arr[Ri]）作为本次查询的结果。
并返回一个包含给定查询 queries 所有结果的数组。
提示：
1 <= arr.length <= 3 * 10^41 <= arr[i] <= 10^91 <= queries.length <= 3 * 10^4queries[i].length == 20 <= queries[i][0] <= queries[i][1] < arr.length
【示例】
输入：arr = [1,3,4,8], queries = [[0,1],[1,2],[0,3],[3,3]]
输出：[2,7,14,8]
解释：
数组中元素的二进制表示形式是：
1 = 0001
3 = 0011
4 = 0100
8 = 1000
查询的 XOR 值为：
[0,1] = 1 xor 3 = 2
[1,2] = 3 xor 4 = 7
[0,3] = 1 xor 3 xor 4 xor 8 = 14
[3,3] = 8
【解题思路】
可以利用前缀和的前提是异或运算的特点
x ^ 0 = xx ^ x = 0
class Solution {
public int[] xorQueries(int[] arr, int[][] queries) {
int n = arr.length;
int[] pre = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
pre[i + 1] = pre[i] ^ arr[i];
}
int m = queries.length;
int[] res = new int[m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
res[i] = pre[queries[i][0]] ^ pre[queries[i][1] + 1];
}
return res;
}
}
定长子串中元音的最大数目★★
【题目】给你字符串 s和整数k。
请返回字符串 s 中长度为 k的单个子字符串中可能包含的最大元音字母数。
英文中的 元音字母 为（a, e, i, o, u）。
提示：
1 <= s.length <= 10^5s由小写英文字母组成1 <= k <= s.length
【示例】
输入：s = "leetcode", k = 3
输出：2
解释："lee"、"eet" 和 "ode" 都包含 2 个元音字母。
--------------------------------------------
输入：s = "abciiidef", k = 3
输出：3
解释：子字符串 "iii" 包含 3 个元音字母。
【解题思路】
方法一：滑动窗口
class Solution {
public int maxVowels(String s, int k) {
int le = 0, ri = 0;
int cur = 0, res = 0;
while (ri < s.length()) {
cur += check(s.charAt(ri));
if (le + k - 1 == ri) {
res = Math.max(res, cur);
cur -= check(s.charAt(le));
le++;
}
ri++;
}
return res;
}
private int check(char c) {
char[] chars = {
'a', 'e', 'i', 'o', 'u'};
for (char ch : chars) {
if (ch == c) {
return 1;
}
}
return 0;
}
}
方法二：前缀和数组
class Solution {
public int maxVowels(String s, int k) {
int n = s.length();
int[] pre = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
pre[i + 1] = pre[i];
pre[i + 1] += check(s.charAt(i));
}
int res = 0;
for (int i = k; i <= n; i++) {
res = Math.max(res, pre[i] - pre[i - k]);
}
return res;
}
private int check(char c) {
char[] chars = {
'a', 'e', 'i', 'o', 'u'};
for (char ch : chars) {
if (ch == c) {
return 1;
}
}
return 0;
}
}
生存人数★★
【题目】给定 N个人的出生年份和死亡年份，第i个人的出生年份为 birth[i]，死亡年份为 death[i]，实现一个方法以计算生存人数最多的年份。
你可以假设所有人都出生于 1900 年至 2000 年（含 1900 和 2000 ）之间。如果一个人在某一年的任意时期处于生存状态，那么他应该被纳入那一年的统计中。例如，生于 1908 年、死于 1909 年的人应当被列入 1908 年和 1909 年的计数。
如果有多个年份生存人数相同且均为最大值，输出其中最小的年份。
提示：
0 < birth.length == death.length <= 10000birth[i] <= death[i]
【示例】
输入：
birth = {
1900, 1901, 1950}
death = {
1948, 1951, 2000}
输出： 1901
【解题思路】
使用前缀和数组，频次统计出生年份+1，死亡年份的后一年-1，之后求前缀和，取存活人数最多的第一个年份即可；
class Solution {
public int maxAliveYear(int[] birth, int[] death) {
int[] pre = new int[102];
for (int i = 0; i < birth.length; i++) {
pre[birth[i] - 1900]++;
pre[death[i] - 1900 + 1]--;
}
int maxNum = pre[0];
for (int i = 1; i < 102; i++) {
pre[i] += pre[i - 1];
maxNum = Math.max(maxNum, pre[i]);
}
int maxYear = 0;
for (int i = 0; i < 102; i++) {
if (pre[i] == maxNum) {
maxYear = 1900 + i;
break;
}
}
return maxYear;
}
}
二维区域和检索 – 矩阵不可变★★
【题目】给定一个二维矩阵，计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1)，右下角为 (row2, col2)。
上图子矩阵左上角(row1, col1) = (2, 1) ，右下角(row2, col2) = (4, 3)，该子矩形内元素的总和为 8。
提示：
- 你可以假设矩阵不可变。
- 会多次调用
sumRegion方法*。* - 你可以假设
row1 ≤ row2且col1 ≤ col2。
【示例】
给定 matrix = [
[3, 0, 1, 4, 2],
[5, 6, 3, 2, 1],
[1, 2, 0, 1, 5],
[4, 1, 0, 1, 7],
[1, 0, 3, 0, 5]
]
sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12
【解题思路】
二维前缀和图解如下，类似集合的并交补思想
查询区域和时只需在前缀和数组上采用同样的思路
区 间 和 = 右 下 区 间 和 − 左 端 区 间 和 − 上 端 区 间 和 + 左 上 区 间 和 区间和= 右下区间和-左端区间和-上端区间和+左上区间和 区间和=右下区间和−左端区间和−上端区间和+左上区间和
class NumMatrix {
int[][] pre;
public NumMatrix(int[][] matrix) {
int r = matrix.length, c = matrix[0].length;
pre = new int[r + 1][c + 1];
for (int i = 0; i < r; i++) {
for (int j = 0; j < c; j++) {
pre[i + 1][j + 1] = pre[i + 1][j] + pre[i][j + 1] - pre[i][j] + matrix[i][j];
}
}
}
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return pre[row2 + 1][col2 + 1] - pre[row2 + 1][col1] -
pre[row1][col2 + 1] + pre[row1][col1];
}
}
矩阵区域和★★
【题目】给你一个 m * n 的矩阵 mat和一个整数 K，请你返回一个矩阵 answer，其中每个answer[i][j]是所有满足下述条件的元素 mat[r][c]的和：
i - K <= r <= i + K, j - K <= c <= j + K(r, c)在矩阵内。
提示：
m == mat.lengthn == mat[i].length1 <= m, n, K <= 1001 <= mat[i][j] <= 100
【示例】
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], K = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]
【解题思路】
同二维区域和检索一样，但要注意查询区间的边界
class Solution {
public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
int r = mat.length, c = mat[0].length;
int[][] pre = new int[r + 1][c + 1];
for (int i = 0; i < r; i++) {
for (int j = 0; j < c; j++) {
pre[i + 1][j + 1] = pre[i + 1][j] + pre[i][j + 1] - pre[i][j] + mat[i][j];
}
}
int[][] res = new int[r][c];
for (int i = 0; i < r; i++) {
for (int j = 0; j < c; j++) {
int to = Math.max(0, i - k);
int bo = Math.min(r - 1, i + k) + 1;
int le = Math.max(0, j - k);
int ri = Math.min(c - 1, j + k) + 1;
res[i][j] = pre[bo][ri] - pre[bo][le] - pre[to][ri] + pre[to][le];
}
}
return res;
}
}
矩形区域不超过 K 的最大数值和★★★
【题目】给你一个 m x n的矩阵 matrix 和一个整数k，找出并返回矩阵内部矩形区域的不超过 k的最大数值和。
题目数据保证总会存在一个数值和不超过 k 的矩形区域。
提示：
m == matrix.lengthn == matrix[i].length1 <= m, n <= 100-100 <= matrix[i][j] <= 100-105 <= k <= 105
【示例】
输入：matrix = [[1,0,1],[0,-2,3]], k = 2
输出：2
解释：矩形区域 [[0, 1], [-2, 3]] 的数值和是 2，且 2 是不超过 k 的最大数字（k = 2）。
【解题思路】
前缀和数组+暴力查询
class Solution {
public int maxSumSubmatrix(int[][] matrix, int k) {
int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
int[][] sum = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int p = i; p <= m; p++) {
for (int q = j; q <= n; q++) {
int cur = sum[p][q] - sum[i - 1][q] - sum[p][j - 1] + sum[i - 1][j - 1];
if (cur <= k) {
res = Math.max(cur, res);
}
}
}
}
}
return res;
}
}
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