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负数的二进制表示方法
假设有一个 int 类型的数,值为3,那么,我们知道它在计算机中表示为:
00000000 00000000 00000000 00000011
因为int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。
在计算机中,负数以其正值的补码形式表达。
什么叫补码呢?这得先从原码,反码说起。
原码:一个整数,按照绝对值大小转换成的二进制数,称为原码。
比如 00000000 00000000 00000000 00000011 是 3的 原码。
反码:将二进制数按位取反,所得的新二进制数称为原二进制数的反码。
取反操作指:1变0;0变1
比如:00000000 00000000 00000000 00000011的反码是11111111 11111111 11111111 11111100。
补码:反码加1称为补码。
也就是说,要得到一个数的补码,先得到反码,然后将反码加上1,所得数称为补码。
比如:00000000 00000000 00000000 00000011 的反码是:11111111 11111111 11111111 11111100。
那么,补码为:
11111111 11111111 11111111 11111100 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111101
所以,-3 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111101。转换为十六进制:0xFFFFFFFD。
整数-1在计算机中如何表示。
假设这也是一个int类型,那么:
1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001
2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110
3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111
可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF
负数用补码原因:
INT_MAX = 2147483647 ;
cout<<INT_MAX+1<<endl; //正确结果为-2147483648
UINT_MAX = 4294967295;
cout<<UINT_MAX+1<<endl; //正确结果为0
负数在计算机中如何表示?
举例来说,+8在计算机中表示为二进制的1000,那么-8怎么表示呢?
很容易想到,可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位,它等于0时就表示正数,等于1时就表示负数。比如,在8位机中,规定每个字节的最高位为符号位。那么,+8就是00001000,而-8则是10001000。
但是,随便找一本《计算机原理》,都会告诉你,实际上,计算机内部采用2的补码(Two’s Complement)表示负数。
什么是2的补码?
它是一种数值的转换方法,要分二步完成:
第一步,每一个二进制位都取相反值,0变成1,1变成0。比如,00001000的相反值就是11110111。
第二步,将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。
所以,00001000的2的补码就是11111000。也就是说,-8在计算机(8位机)中就是用11111000表示。
不知道你怎么看,反正我觉得很奇怪,为什么要采用这么麻烦的方式表示负数,更直觉的方式难道不好吗?
为什么要用2的补码
首先,要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数,其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系,就可以用任意方式表示负数。所以,既然可以任意选择,那么理应选择一种最方便的方式。
2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在,所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
还是以-8作为例子。
假定有两种表示方法。一种是直觉表示法,即10001000;另一种是2的补码表示法,即1 1111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便?
随便写一个计算式,16 + (-8) = ? 1 0001000 取反 1 1110111 加1 +1 = 1 1111000
再取反 1 0000111 + 1 = 1 0001000 取反不不包括符号位两次取反得到原值
正数的补码是其本身 负数的补码是符号位不变 其他位取反之后加1
连着变换两次相当于没有做任何操作
16的二进制表示是 00010000,所以用直觉表示法,加法就要写成:
00010000
+10001000
---------
10011000
可以看到,如果按照正常的加法规则,就会得到10011000的结果,转成十进制就是-24。显然,这是错误的答案。也就是说,在这种情况下,正常的加法规则不适用于正数与负数的加法,因此必须制定两套运算规则,一套用于正数加正数,还有一套用于正数加负数。从电路上说,就是必须为加法运算做两种电路。
现在,再来看2的补码表示法。
00010000
+11111000
---------
100001000
可以看到,按照正常的加法规则,得到的结果是100001000。注意,这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机,因此最高的第9位是一个溢出位,会被自动舍去。所以,结果就变成了00001000,转成十进制正好是8,也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了,2的补码表示法可以将加法运算规则,扩展到整个整数集,从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
2的补码的本质及正确性
我们要看先一下模的概念
“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范
围,即都存在一个“模”。例如:
时钟的计量范围是0~11,模=12。
表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1,模=2^(n)。
“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的
余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。
例如: 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:
你可以往回拨4个小时,也可以向前拨8个小时(12-10+6,在钟表系统里模是12)
在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。
对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特
性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再
加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的
模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以
了。
再次重申一下这句话:
在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。
所以对于模为10000 0000的8位系统来说,减去b和加上10000 0000-b是一个道理,而(10000 0000-b)是什么?恰好就是b的补码
补码怎么求,“取反加一” 这口诀怎么来的?
承认了8 – 5 = 8 + (-5的补码)这个事实后,我们来看-5的补码怎么求,“取反加一”怎么来的
其实看完了上面的模的问题,该问题的答案基本已经出来了
-5的补码是 10000 0000 – 5 = 1111 1111 + 1 -5 = (1111 1111 – 5) + 1
1111 1111减去一个数事实上就是在对这个数取反,后面那个是+1
两个小问题的解释:
(1)
32位系统里,int的最大值为01111111 11111111 11111111 11111111,加1之后为
10000000 00000000 00000000 00000000。这个数是什么?
首先这是个负数–>负数在计算器里都是补码形式存放–>这是个补码–>那么真值是?–> -2147483648(已知负数的补码求该负数,不会求的百度一下吧。。。)
(2) 再取反就得到原来的值
对于unsigned,最大值(32个1)加1后最前面的1自然丢失,剩下32个0,所以就是0。
结束。
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