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如何理解特征值和特征向量

此部分参考了马同学的文章：如何理解矩阵特征值和特征向量？

我们知道一个矩阵可以看做是线性变换又或者是某种运动，可以将一个向量进行旋转，平移等等操作，正常来说，对于一个向量 $v$ ，并对其乘上一个A会出现下图的情况：
在这里插入图片描述
可以看到乘了A之后v发生了一些旋转。然而所有向量中存在一种稳定的向量，他不会发生旋转，平移，只会使得向量变长或变短，而这种稳定的向量正是矩阵的特征向量,即满足公式：
$Av=\lambda v$
这里 $\lambda$ 决定了向量到底是伸长还是缩短

特征向量描述运动的方向

此外特征向量一个非常重要的特质是他描述了运动的方向，如果我们对一个向量持续地去乘以A会发生什么？我们发现，经过不断的运动，变换后的向量会收敛到特征值最大的特征向量上：

为什么会这样呢？不妨假设现在有一个n维向量v：
$v_{1} ,v_{2} ,\dotsc ,v_{n})$
于是我们不停地乘以W
$\begin{aligned} Wv & =\left(\sum ^{n}_{i=1} w_{1,i} v_{i} ,\sum ^{n}_{i=1} W_{2,i} v_{i} ,\dotsc ,\sum ^{n}_{i=1} W_{n,i} v_{i}\right)\\ W^{2} v & =\left(\sum ^{n}_{i,j=1} w_{1,j} W_{j,i} v_{i} ,\dotsc ,\sum ^{n}_{i,j=1} W_{n,j} W_{j,i} v_{i}\right) \end{aligned}$
好像除了变得很复杂以外，并没有看出什么东西，但是如果我们用一组特征向量u来表达向量v，因为特征向量是相互正交的基，因此向量v可以由特征向量u的线性组合表示：
$=\alpha _{1} u_{1} +\alpha _{2} u_{2} +\cdots +\alpha _{n} u_{n}$
接下来由于特征向量的稳定性，我们发现向量v的变化其实是这样的：
$\begin{aligned} Wv & =\mu _{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu _{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu _{n} \alpha _{n} u_{n}\\ W^{2} v & =\mu ^{2}_{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu ^{2}_{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu ^{2}_{n} \alpha _{n} u_{n}\\ W^{k} v & =\mu ^{k}_{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu ^{k}_{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu ^{k}_{n} \alpha _{n} u_{n} \end{aligned}$
这个变化告诉我们，随着k趋于无穷，特征值最大的特征向量将会主宰其余的特征向量，从而v与特征值最大的u变成同一个方向！此外，通过这样的变换，我们甚至能够知道v的运动过程其实是由各个不同大小的特征值与特征向量控制的。

谱图理论

当矩阵变成了一副图的邻接矩阵的时候，事情就变得很有趣的。此时，这样的矩阵描述了一种在图上的类似于热力扩散的运动，diffusion。同样的，该矩阵的特征值刻画了这样的运动轨迹。

如果我们设W是一个实对称矩阵并且满足

$W_{ii}=0$
$W_{ij}=1$ ，i,j有边
$W_{ij}=0$ ，i,j没有边
并且我们定义一下图上每个结点的初始温度为 $\mathbf{v}=v_1,v_2,…,v_n$ ，于是经过“运动”后第i个结点的温度会变成下面这样：
$v)_{i}= \sum_{j :\{i, j\} \in E} v_{j}$
我们发现他就是用所有邻居的温度的平均值来更新当前第i个结点的温度。可以预想的是，一直持续下去，所有结点的温度都会相等，而这个稳定的温度，显然是正比于特征值最大的特征向量（上一章的内容）。

Laplacian Matrix

为了更好研究，接下来我们引入一种性质更有趣的矩阵，叫做拉普拉斯矩阵，他的定义为 $L = D - W$

我们一般会对其标准化从而得到 $L=I-D^{-1/2}WD^{-1/2}$ ，假设A是标准化后的邻接矩阵 $A=D^{-1/2}WD^{-1/2}$ ，那么

$A_{ii}=0$
$A_{ij}=1/d$ ，i,j有边
$A_{ij}=0$ ，i,j没有边
且
$v)_{i}= \frac{1}{d}\sum_{j :\{i, j\} \in E} v_{j}$
拉普拉斯矩阵，不同于邻接矩阵在描述运动的轨迹，laplace矩阵描述的是运动的位移或者变化量。可以对比一下以下两式：

$v)_{i}=\frac{1}{d} \sum_{j :\{i, j\} \in E} v_{j} \\ (L v)_{i}=v_i-\frac{1}{d} \sum_{j :\{i, j\} \in E} v_{j}$

显然我们得到是第i个结点的变化量，又因为这个乘积可以表示为：

$\begin{aligned} Lv & =\mu _{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu _{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu _{n} \alpha _{n} u_{n}\\ L^{2} v & =\mu ^{2}_{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu ^{2}_{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu ^{2}_{n} \alpha _{n} u_{n}\\ L^{k} v & =\mu ^{k}_{1} \alpha _{1} u_{1} +\mu ^{k}_{2} \alpha _{2} u_{2} +\cdots +\mu ^{k}_{n} \alpha _{n} u_{n} \end{aligned}$

于是，L的特征值描述了变化量的强度。事实上，这只是特征值的冰山一角，特征值描述的信息比你想象中更多，接来下，我们介绍一下，特征值与图的的另一种联系

Variational Characterization of Eigenvalues

定理: 设 $M\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是对称矩阵，以及M的特征值 $\displaystyle \lambda _{1} \leqslant \lambda _{2} \leqslant …\lambda _{n}$ ，于是

$\lambda _{k} =\min_{k-\operatorname{dim} V}\max_{\mathbf{x} \in V-\{\mathbf{0} \}}\frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}$

其中 $\displaystyle \frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}$ 称为x在M中的Rayleigh quotient，并记为 $\displaystyle R_{M}(\mathbf{x})$ .

证明：

设 $\displaystyle \mathbf{v}_{1} ,…,\mathbf{v}_{n}$ 为相互正交的特征向量，考虑由向量 $\displaystyle \mathbf{v}_{1} ,…,\mathbf{v}_{k}$ 组成的k维张成空间。对任意该空间的向量都有 $\displaystyle \mathbf{x} =\sum ^{k}_{i=1} a_{i}\mathbf{v}_{i}$ ,于是Rayleigh quotient的分子 $\displaystyle \mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}$ 为

$\sum ^{k}_{i=1}\sum ^{k}_{j=1} a_{i} a_{j}\mathbf{v}^{T}_{i} M\mathbf{v}_{j} =\sum ^{k}_{i=1}\sum ^{k}_{j=1} a_{i} a_{j} \lambda _{j}\mathbf{v}^{T}_{i}\mathbf{v}_{j} =\sum ^{k}_{i=1} \lambda _{i} a^{2}_{i} \leq \lambda _{k} \cdot \sum ^{k}_{i=1} a^{2}_{i}$

该不等式是因为 $\displaystyle \lambda _{k}$ 是1到k中最大的特征值。而其分母 $\displaystyle \mathbf{x}^{T}\mathbf{x} =\sum ^{k}_{i=1}\sum ^{k}_{j=1} a_{i} a_{j}\mathbf{v}^{T}_{i}\mathbf{v}_{j} =\sum ^{k}_{i=1} a^{2}_{i}$ ,因此

$\frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}} \leqslant \frac{\lambda _{k} \cdot \sum ^{k}_{i=1} a^{2}_{i}}{\sum ^{k}_{i=1} a^{2}_{i}} =\lambda _{k}$

这意味着 $\displaystyle \lambda _{k}$ 恰好对应着在k个维度的时候的最大值（x不等于0），因此

$\lambda _{k} \geq \min_{k-\operatorname{dim} V}\max_{\mathbf{x} \in V-\{\mathbf{0} \}}\frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}$

接下来我们将证明V里面一定存在向量使得Rayleigh quotient $\displaystyle \geqslant \lambda _{k}$ ，令S为 $\displaystyle \mathbf{v}_{k} ,…,\mathbf{v}_{n}$ 张成的空间，这里S的维度为n-k+1，那么在V和S中，一定存在一个共享的向量x(因为它们共享第k个特征向量)，令该向量的表达为 $\displaystyle \mathbf{x} =\sum ^{n}_{i=k} a_{i}\mathbf{v}_{i}$ ,此时，因为 $\displaystyle \lambda _{k}$ 是最小的特征值，因此

$\sum ^{n}_{i=k} \lambda _{i} a^{2}_{i} \geqslant \lambda _{k} \cdot \sum ^{k}_{i=1} a^{2}_{i}$

于是

$\frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}} \geqslant \frac{\lambda _{k} \cdot \sum ^{n}_{i=k} a^{2}_{i}}{\sum ^{n}_{i=k} a^{2}_{i}} =\lambda _{k}$

因此

$\lambda _{k} =\min_{k-\operatorname{dim} V}\max_{\mathbf{x} \in V-\{\mathbf{0} \}}\frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}$
证毕。

这个定理非常神奇且重要，他告诉我们，当x的取值在一个由K个特征向量张成的子空间中， $\displaystyle \frac{\mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}$ 的最大值恰好等于特征值。而如果你看过谱聚类（详细可看图卷积神经网络(Graph Convolutional Network, GCN)），当M等于标准化的laplace矩阵L时，即 $\displaystyle L=I-\frac{1}{d} A$ ，你会知道如果设 $\displaystyle x\in \{0,1\}^{V}$ ，（用1表示A类结点，用0表示B类结点），那么这A,B两类结点把他切割开，于是 $\displaystyle \mathbf{x}^{T} M\mathbf{x}$ 就表示切割开A,B图所经过的边数，因为
$\mathbf{x}^{T} L\mathbf{x} =\frac{1}{d}\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} -x_{v})^{2}$
于是：
$\lambda _{k} =\min_{Sk-\text{ dimensional subspace of }\mathbb{R}^{n}}\max_{\mathbf{x} \in S-\{\mathbf{0} \}}\frac{\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} -x_{v})^{2}}{d\sum _{v} x^{2}_{v}}$
那么如果 $\displaystyle \lambda _{k}$ 等于0，想象一下，切割的边为0个是什么场景，显然就是一个独立的连通区域才能使得切割的边数量为0。在公式中，意味着，存在在所有k维的S空间中最小的x的最大值，使得 $\displaystyle \mathbf{x} \in S$ ，只要 $\displaystyle \{u,v\}\in E$ 都有 $\displaystyle x_{u} =x_{v}$ ，这意味着他们都属于同一类别，也就是说，他们都在一个连通区域内,在这个区域内，所有结点的 $\displaystyle x_{v}$ 都相等。因此，laplace矩阵特征值为0的个数就是连通区域的个数。

此外，在真实场景中可能不存在特征值为0的孤岛（因为每个人或多或少都会跟人有联系），但是当特征值很小的时候，也能反应出某种“孤岛”，或者称为，bottleneck，这种bottleneck显然是由第二小的特征值决定的（因为特征值为0就是真正孤岛，但第二小就是有一点点边，但还是连通的），因此，很多发现社交社群的算法都会或多或少利用利用这一点，因为不同的社群肯定是内部大量边，但是社群之间的边很少，从而形成bottlenect。

关于这个bottleneck的一个应用就是图像分割，Normalized Cuts and Image Segmentation,

比如说一图图片：

我们希望把婴儿分割出来，于是我们假设像素之间形成一个图，像素之间的相似性是边的权重，

然后我们计算相似性

最后我们发现，第二个特征向量恰好就是对应着这个切分区域

我们可以总结一下laplace矩阵的性质：

定理: 设G为无向图，A为G的邻接矩阵，令 $\displaystyle L=I-\frac{1}{d} A$ 为图G的标准化的laplace矩阵。设 $\displaystyle \lambda _{1} \leqslant \lambda _{2} \leqslant …\lambda _{n}$ ，为L的特征值，大小按照递增排列，则：

$\displaystyle \lambda _{1} =0$ 且 $\displaystyle \lambda _{n} \leqslant 2$
$\displaystyle \lambda _{k} =0$ 当且仅当G至少k个连通区域（这意味着特征值为0的数量对应着连通区域的数量）。
$\displaystyle \lambda _{n} =2$ 当且仅当至少有一个连通域是二分图。

显然，当k=1时，满足
$\lambda _{1} =\min_{\mathbf{x} \in R^{n} -\{\mathbf{0} \}}\frac{\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} -x_{v})^{2}}{d\sum _{v} x^{2}_{v}}$
首先，显然 $\displaystyle \lambda _{1} \geqslant 0$ ,因为他们都是平方，其次，如果x是全1向量时等于0，从而最小值就是0，于是 $\displaystyle \lambda _{1} =0$ 。
而当k=n时，
$\lambda _{n} =\max_{\mathbf{x} \in R^{n} -\{\mathbf{0} \}}\frac{\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} -x_{v})^{2}}{d\sum _{v} x^{2}_{v}}$
首先我们观察到：
$\begin{array}{ l } 2\mathbf{x}^{T}\mathbf{x} -\mathbf{x}^{T} L\mathbf{x} =\frac{1}{d}\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} +x_{v})^{2} \end{array}$
注意括号里面是加号，不是减号，于是 $\displaystyle \mathbf{x}^{T} L\mathbf{x} =2\sum _{v} x^{2}_{v} -\frac{1}{d}\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} +x_{v})^{2}$
$\lambda _{n} =2-\min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} -\{\mathbf{0} \}}\frac{\sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} +x_{v})^{2}}{d\sum _{v} x^{2}_{v}}$
显然 $\displaystyle \lambda _{n} \leqslant 2$ ,等号成立的条件为，存在非零的x，使得 $\displaystyle \sum _{\{u,v\}\in E}( x_{u} +x_{v})^{2} =0$ ，这意味着， $\displaystyle x_{u} =-x_{v} ,\forall \{u,v\}\in E$ . 而这正是一个二分图因为所有的边， $\displaystyle x_{u}$ 和 $\displaystyle x_{v}$ 都不一样，也就是他们所属的类别都不同，而同类别之间的边又不存在，这就是一个二分图了。