证明威尔逊定理的逆定理_威尔德定理

证明威尔逊定理的逆定理_威尔德定理威尔逊定理:当( p-1)!≡-1(modp) 时,p为素数。证明如下充分性:当p不是素数,那么令p=a*b,其中1  (1)若a≠b,    因为(p-1)!=1*2*…*a*…*b*…*p-1,    所以(p-1)!≡0(moda)            (

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46,售后保障稳定

威尔逊定理:( p -1 )! ≡ p -1  ≡ -1 ( mod p ) 时,p为素数。

(即:p是质数,则(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p))

综合来说,就是:( p -1 )! ≡ p -1  ≡ -1 ( mod p )  当且仅当  p为素数。

证明如下

充分性:

当p不是素数,那么令p=a*b ,其中1 < a < p-1 ,1 < b < p-1.

    (1)若a≠b,

        因为(p-1)!=1*2*…*a*…*b*…*p-1,

        所以(p-1)!≡ 0 (mod a)        

               (p-1)!≡ 0 (mod b)

        可得(p-1)!≡ 0 (mod a*b) ,

              即 (p-1)!≡ 0 (mod p)

        与( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )  矛盾

    (2)若a=b

        因为(p-1)!=1*2*…*a*…*2a*…*p-1.

        所以(p-1)!≡ 0 (mod a)          

               (p-1)!≡ 0 (mod 2a)

        可得(p-1)!≡ 0 (mod a*2a) => (p-1)!≡ 0 (mod a*a) ,

          即 (p-1)!≡ 0 (mod p)

        与( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )  矛盾

因此p只能是素数。

必要性:

当p为2,( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立

当p为3,( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立

对于p>=5,令M={2,3,4,…,p-2}.

        对于a∈M,令N={a,2*a,3*a,4*a,….(p-2)*a,(p-1)*a}

        令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2

        那么t1*a∈N,t2*a∈N。

        若t1*a≡t2*a (mod p) ,那么|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。

        因为|t1-t2|*a∈N,与N中元素不能被p除尽矛盾。

        所以t1*a≡t2*a不成立。

        那么N中元素对p取模后形成的集合为{1,2,3,4,…,p-1}.

        设x*a ≡ 1 (mod p)。

                当x=1时, x*a=a, 对p取模不为1,所以不成立。

                当x=p-1时,(p-1)*a=p*a-a, 对p取模不为1,所以不成立。

                当x=a时,a*a≡1 (mod p),可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ,所以不成立。

        综上所述,x,a∈M,并且当a不同时,x也随之不同。

        所以,M集合中每一个元素a都能够找到一个与之配对的x,使得x*a ≡ 1 (mod p).

        (p-1)!=1*2*3*…p-1

                  =1*(2*x1)*(3*x3)*…*(p-1)

        所以, (p-1)!1*(p-1)    (mod p)

        即,(p-1)!-1     (mod p) 

       证明完毕

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/234348.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)


相关推荐

  • IJ 快捷键「建议收藏」

    IJ 快捷键「建议收藏」私有属性快速生成getset方法alt+insert

  • 微信公众平台PHP开发

    微信公众平台PHP开发

  • 立存此照「建议收藏」

    立存此照「建议收藏」

  • Java list转为object_List集合转JSONObject

    Java list转为object_List集合转JSONObject写代码喜欢用Map拼接返回去给前端,这样得到的也是一个标准的JSON,今天先不说Map的优缺点,我们就来说说JSONObject的使用,我用的是阿里的fastjson,先上代码,当我们需要嵌套代码的时候,看需求:由于sessionData后面是{},所以后面的对象必须是一个JSONObject,如果是sessionData后面是[]就可以使用JSONArray。一般sessionDataExpir…

  • Linux系统(Centos)安装tomcat和部署Web项目

    文章结构1.准备工作2.在Linux下安装Tomcat8.03.Linux中配置tomcat的服务器启动和关闭和配置tomcat的开机启动4.给tomcat配置用户名和密码登录5.使用IDEA打包Maven托管的WEB项目6.将JavaWeb项目发布到Tomcat8.0下面并且访问展示1,准备工作①,下载Linux版本的tomcat服务器,这里根据自己的需求下载相应的版本,作者这里…

  • hibernate之二级缓存「建议收藏」

    hibernate之二级缓存「建议收藏」hibernate之二级缓存缓存的作用:通过缓存,可以减少与数据库的交互,提高数据库访问性能。即把需要的数据存储起来,不需要每次都请求,主要目地减少服务器压力。Hibernate缓存一般分三类:一级缓存(Session对象):Hibernate的内置缓存,必需的,默认启动,不能被卸载。由于Session对象的生命周期通常对应一个数据库事务,因此它的缓存是事务范围的缓存。在一级缓存中,持…

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号