算术几何平均matlab,算术-几何平均数——高斯的发现

算术几何平均matlab,算术-几何平均数——高斯的发现“算术-几何平均数”既不是算术平均数,也不是几何平均数,由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数,当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道,但凡一个数学概念或定理,哪怕再简单不过,只要和高斯扯上关系,那就一定不简单了。带着耐心,我们来看看高斯关于算术-几何平均数的研究。预备知识对于两个正实数a和b(不妨设0我们有基本不等式,等号当且仅当a=…

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“算术-几何平均数”既不是算术平均数,也不是几何平均数,由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数,当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道,但凡一个数学概念或定理,哪怕再简单不过,只要和高斯扯上关系,那就一定不简单了。带着耐心,我们来看看高斯关于算术-几何平均数的研究。

预备知识

对于两个正实数a和b(不妨设0

我们有基本不等式,

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等号当且仅当a=b时成立。

证明也不难:

从数的角度

153131015_2_20190129122724524

从形的角度

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一目了然。

正文

算术平均数和几何平均数的概念相当简单,绝大部分人认识到基本不等式这一步,可以说是功德圆满了。继续研究的话,无非两个方向:

第一,由两个数向三个、四个乃至任意n个正数的推广:

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第二,研究其他类型的平均,比如立方平均,平方平均,调和平均(倒数平均)以及它们之间的大小关系,得到更高级的基本不等式:

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也就是“立方平均数≥平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数”。

上面的不等式同样可以推广到任意n个正数的情形。

绝大部分数学家走到这一步,也可以说是功德圆满了。

高斯,却另辟蹊径。

平均,平均,既然叫做”平均数“,自然介于两者之间,缓和了最大与最小。完整的基本不等式应该是:

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由a和b,得到(a+b)/2和√ab,显然

153131015_8_20190129122724993

距离不到原来的一半。

令a1=√ab,b1=(a+b)/2,再计算它们的算术平均数和几何平均数,又有

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153131015_10_20190129122725133

同样地,它们之间的距离为

153131015_11_20190129122725243

这个过程可以无限进行下去,也就是

153131015_12_20190129122725305

那么数列{an}单调递增有上界,数列{bn}单调递减有下界,且当n趋于无穷时,

153131015_13_20190129122725368

于是数列{an}和{bn}有同一个极限。

高斯就把这个极限叫做a和b的算术-几何平均数(Arithmetic-Geometric Mean)。记为AGM(a,b)。

高斯当时只研究了算术-几何平均数。但顺着他的这个思路,我们当然还可以发明“算术-平方平均数”,“算术-调和平均数”,“平方-调和平均数”等概念。只需要在上面的迭代过程中,an和bn分别取an-1和bn-1不同的平均数即可。

这些平均数的数值都很容易计算,编个程序,迭代几次就能得到精度相当高的结果,收敛很快。

比如对1和2,小编用MATLAB编程,得到它们的算术-几何平均数约等于1.456791031046907,算术-平方平均数约等于1.540836469462489,平方-调和平均数约等于1.45458688740267。有兴趣的话可以试着计算其他组合的平均数。在计算的过程中,小编发现了一个很有意思的结论。限于篇幅,暂且不表。

本来两个数的平均,算数平均也好,几何平均也好,都很简单,计算简单,结果也简单。对1和2,它们的算术平均是1.5,几何平均是√2,平方平均是√(5/2),调和平均是4/3。然而对如此简单的1和2,它们的算术-几何平均数的卖相却如此“丑陋”!1.540836469462489…….看起来似乎还是个超越数!!!

高斯并不仅仅满足于数值运算。很快,他就找到算术-几何平均数AGM(a,b)的解析表达:

153131015_14_20190129122725430

圆周率π,三角函数,微积分……等等,算术-几何平均数怎么会和这些概念扯到一起???

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当年,高斯22岁。

后续

研究这些平均数,有什么用呢?

对我们来说,可以作为一种数学游戏,具有启发思维的作用。也许,可以应用在某个我们暂时还不知道的领域。

但高斯,他研究算术-几何平均数绝非一时的游戏之作。

作为一个“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“,高斯发现,算术-几何平均数跟椭圆积分有很深的联系。

举个例子,有不少人对双纽线比较熟悉,双纽线是平面上到两个定点的距离之积为常数的动点轨迹(类比一下椭圆),长得像一个无穷符号。方程如下:

153131015_16_20190129122725571

学过高数的人应该知道,双纽线的面积是2a^2。但我们这里来看双纽线的周长。

为了简单起见,在上图中取a=1,它的极坐标方程是

153131015_17_20190129122725649

根据对称性,其周长

153131015_18_20190129122725712

利用高斯计算AGM(a,b)的公式,我们很容易得到该双纽线的周长

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为了纪念高斯,称

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为高斯常数(Gauss’s Constant)。

双纽线的周长计算其实是一种椭圆积分,而椭圆积分的反演就是椭圆函数。椭圆函数可以说是19世纪的数学界在复变函数论方面取得的最为辉煌壮观的成果,没有之一。

人类历史上第一个被研究的椭圆函数,就是双纽线周长的积分反演。而研究它的,正是高斯。

椭圆函数在数论方面的应用发展出了模函数、模曲线、自守形式等理论。上世纪末,怀尔斯证明了费尔马大定理,应用的基本工具之一正是椭圆函数。

思考题

高斯22岁发现的定理

153131015_21_20190129122725946

有人对证明感兴趣吗?证明仅仅用到了高等数学的基础知识,没有任何知识盲点。如果感兴趣的话,私信或留言告诉我,分享你的思考证明过程。视情况,我将在下一篇贴出。

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