齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次

齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次齐次坐标的表示根据《向量几何在游戏编程中的使用6》中关于基的概念。对于一个向量v以及基oabc,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v=v1a+v2b+v3c(1)而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得p–o=p1a+p2b+p3c(2)从上面对向量和点的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——p–o(有的书中把这样的向.

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46,售后保障稳定

先看看矩阵乘法在三维坐标变换的缺点:将三维坐标视为一个列向量,那么矩阵*列向量得到的新向量的每一个分量,都是旧的列向量的线性函数,因而三维笛卡尔坐标与矩阵的乘法只能实现三维坐标的缩放和旋转,而无法实现坐标平移。

齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次

可以发现将三维的笛卡尔坐标添加一个额外坐标,就可以实现坐标平移了,而且保持了三维向量与矩阵乘法具有的缩放和旋转操作。这个就称为齐次坐标。而这种变换也称为仿射变换(affine transformation),不属于线性变换(线性变换的一个重要规则就是(0,0,0)(0,0,0)映射以后仍是(0,0,0)(0,0,0))。

齐次坐标的表示

根据《向量几何在游戏编程中的使用6》中关于基的概念。对于一个向量v以及基oabc,

齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次

可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得 v = v1 a + v2 b + v3 c (1)

而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c (2)

从上面对向量和点的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——p – o(有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:

p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出,虽然都是用代数分量的形式表达向量和点,但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7),谁知道它是个向量还是个点!

我们现在把(1)(3)写成矩阵的形式:

齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次

这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样,向量和点在同一个基下就有了不同的表达:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

 “齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F.S. Hill, JR

这样,上面的(1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。
下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:

从普通坐标转换成齐次坐标时,

如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)

从齐次坐标转换成普通坐标时,

如果是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0),则知道它是个向量,仍然变成(x,y,z)

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知,对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为普通向量没有位置概念,只有大小和方向,这可以通过下面的式子清楚地看出:

齐次坐标讲解_齐次方程为什么叫齐次

而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换非常方便。

此外,对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个分量。

由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念,使得平移变换可以使用矩阵进行,从而如F.S. Hill, JR所说,仿射(线性)变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个标准。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/227253.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)
blank

相关推荐

  • log4cxx–使用多个logger「建议收藏」

    log4cxx–使用多个logger「建议收藏」转载自:http://blog.csdn.net/crazyhacking/article/details/9668267使用多个logger时,所有logger的配置写在一个配置文件里面两个例子:1一个继承的例子(http://logging.apache.org/log4cxx/)//filecom/foo/bar.h#include”log4cxx/log

  • 异常处理面试题_运行值长面试题

    异常处理面试题_运行值长面试题java提供了两种异常机制。一种是运行时异常(RuntimeExepction),一种是受检异常(checkedexecption)。受检异常:我们经常遇到的IO异常及sql异常就属于检查式异常。对于这种异常,java编译器要求我们必须对出现的这些异常进行catch,面对这种异常要么往上抛,要么就catch运行时异常:我们可以不处理。当出现这样的异常时,总是由虚拟机接管。RuntimeExec

  • python基础(3)列表list「建议收藏」

    python基础(3)列表list「建议收藏」列表列表特点:是一种序列结构,与元组不同,列表具有可变性,可以追加、插入、删除、替换列表中的元素新增元素appendappend添加一个对象,可以是任意类型a=['zhangsa

  • ASP NET MVC Web开发教程

    ASP NET MVC Web开发教程ASPNETMVCWeb开发教程使用ASPNETMVC和C#快速学习Web开发。从绝对基础到忍者!像专业人士一样学习C#和MVC课程英文名:CompleteASPNETMVCWebDevelopment-NewbietoNinja!此视频教程共4.0小时,中英双语字幕,画质清晰无水印,源码附件全百度网盘地址:https://pan.baidu.com/s/1tarxUTa-F0KOPeXXmocLLg?pwd=7evf课程介绍:https://www.aihor

  • m3u8手机批量转码_M3U8批量转换app-M3U8批量转换MP4软件下载v1.0 安卓版-西西软件下载…

    M3U8批量转换MP4软件,一个简单高效的M3U8转MP4格式软件,支持一键批量转换,在安卓手机上进行操作,传输或者下载的M3U8格式视频文件一般无法打开浏览,直接在这里进行转换,可选择转换后删除源文件,直接获取到可以正常观看的MP4格式文件。本次放出M3U8批量转换app安卓版下载,想要一款批量格式转换工具的朋友们不妨试试吧!M3U8批量转换app介绍可将m3u8格式的AppleHLS加密视频…

  • SSM框架——Spring+SpringMVC+Mybatis的搭建教程

    一个简单的SSM框架的搭建过程,简单易学!SSM框架在项目开发中经常使用到,相比于SSH框架,它在仅几年的开发中运用的更加广泛。

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号