测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]前言今天偶尔刷到一篇博客如下,里面涉及到了很多数学小知识点,基本都是很实用的数学常识,不论从事什么领域,其实都很有帮助,为此记录一下吧。https://mp.weixin.qq.com/s/RLbrf-HNc79P7jaU2Sr29Q下面分多个大标题,记录一下各个使用的点显著性分析这是非常重要了,可以参考https://blog.csdn.net/championkai/article/details/80206704基本上我们要分析两个变量或多个变量之间的差异有多大,就会用到显

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目录

前言

显著性分析

delta method

Delta Method的结果

一些其他有趣的讨论和优化

总结


前言

今天偶尔刷到一篇博客如下,里面涉及到了很多数学小知识点,基本都是很实用的数学常识,不论从事什么领域,其实都很有帮助,为此记录一下吧。

十分钟读懂Delta Method在AB测试中的应用

下面分多个大标题,记录一下各个使用的点【下面多张图片均来源于以上博客】

显著性分析

这是非常重要了,可以参考

关于显著性检验,你想要的都在这儿了!!(基础篇)_championkai的博客-CSDN博客_显著性差异

基本上我们要分析两个变量或多个变量之间的差异有多大,就会用到显著性分析,而该场景可以说太多了,所以学好显著性分析非常有用,之间在大学和考研期间学过一些皮毛,脑海中能记得就是一堆假设检验,不过一般的话我们只需要使用这些简单的就够了

delta method

我们知道一个随机变量X的方差var(X),那么经过线性变化Y=ax+b 后,Y的方差也是知道的:a^{2}*var(X), 但如果不是线性变化呢即泛化成 f(X)?delta method就是解决这一类问题的,大概思路就是如果我们将f(X)转化成一个线性变化,而这个线性变化是逼近f(X),那不就行了,即该线性变化又能代表f(X),又能直接利用a^{2}*var(X)得到新构建随机变量Y的方差,所以问题转变为怎么求得f(X)的近似线性函数,delta method基于的是泰勒展开式,用近似的方法估计随机变量函数的方差。

复杂的变化,可以查看更多文献,但简单概括来说其解决了如下问题:

Y = f(X) \\ D(Y) = ({f(X)}')^{2}D(X)

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

这是一元的(一个随机变量),如果是多元的

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

下面我们通过一个例子来详细看看delta method的具体计算过程即博客中的一个例子推导:

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

博客中直接给出了结果,那么详细过程是什么呢?其实如下:

var(\frac{\overline{X}}{\overline{Y}})=\begin{pmatrix} \frac{\partial g(\mu_{x},\mu_{y}))}{\partial \mu_{x}}& \frac{\partial g(\mu_{x},\mu_{y}))}{\partial \mu_{y}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} var(\overline{X}) & COV(\overline{X},\overline{Y}))\\ COV(\overline{Y},\overline{X})) & var(\overline{Y}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial g(\mu_{x},\mu_{y}))}{\partial \mu_{x}}& \frac{\partial g(\mu_{x},\mu_{y}))}{\partial \mu_{y}} \end{pmatrix}^{T}\\= \begin{pmatrix} \frac{1}{\mu_{y}} & -\frac{\mu_{x}}{\mu_{y}^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} var(\overline{X}) & COV(\overline{X},\overline{Y}))\\ COV(\overline{Y},\overline{X})) & var(\overline{Y}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\mu_{y}} & -\frac{\mu_{x}}{\mu_{y}^{2}} \end{pmatrix}^{T}

=\begin{pmatrix} \frac{var(\overline{X})}{\mu_{y}} -\frac{\mu_{x}COV(\overline{X},\overline{Y})}{\mu_{y}^{2}}& \frac{COV(\overline{X},\overline{Y})}{\mu_{y}}-\frac{\mu_{x}var(\overline{Y})}{\mu_{y}^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\mu_{y}} & -\frac{\mu_{x}}{\mu_{y}^{2}} \end{pmatrix}^{T}

=\frac{var(\overline{X})}{\mu _{y}^{2}}-\frac{\mu_{x}COV(\overline{X},\overline{Y})}{\mu _{y}^{3}}-\frac{\mu _{x}COV(\overline{X},\overline{Y})}{\mu _{y}^{3}}+\frac{\mu _{x}^{2}var(\overline{Y})}{\mu _{y}^{4}}

=\frac{var(\overline{X})}{\mu _{y}^{2}}+\frac{\mu _{x}^{2}var(\overline{Y})}{\mu _{y}^{4}}-\frac{2\mu_{x}COV(\overline{X},\overline{Y})}{\mu _{y}^{3}}

=\frac{var(\overline{X})}{​{\overline{Y}}^{2}}+\frac{\overline{X}^{2}var(\overline{Y})}{\overline{Y}^{4}}-2\frac{\overline{X}COV(\overline{X},\overline{Y})}{\overline{Y}^{3}}{\color{Red} (1)}

=\frac{var(\frac{X}{n})}{​{\overline{Y}}^{2}}+\frac{\overline{X}^{2}var(\frac{Y}{n})}{\overline{Y}^{4}}-2\frac{\overline{X}COV(\frac{X}{n},\frac{Y}{n})}{\overline{Y}^{3}}

=\frac{1}{n}(\frac{var(X)}{​{\overline{Y}}^{2}}+\frac{\overline{X}^{2}var(Y)}{\overline{Y}^{4}}-2\frac{\overline{X}COV(X,Y)}{\overline{Y}^{3}}) {\color{Green} (2)}

上述(1)(2)分别对应图片中的红框和绿框。其中

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

需要注意的是:

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

所以博客中开头中得到的公式是:

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

没有了协方差。

Delta Method的结果

博客中对比了传统的测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]和新得到的测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

\frac{var(\bar{y_{t}})+var(\bar{y_{c}})}{y_{c}^{2}}\frac{var(\bar{y_{t}})+(\frac{\bar{y_{t}}}{\bar{y_{c}}})^{2}var(\bar{y_{c}})}{y_{c}^{2}},前者是下表中的错误方法,后者是Delta Method, Bootstrap是标准

测试算法有效性:显著性分析[通俗易懂]

可以看到Delta Method是和Bootstrap标准更趋近。

一些其他有趣的讨论和优化

可以看博客中的特殊情况讨论一节,挺有意思

总结

(1)显著性分析,应用很广泛,一些基本概念要知道,比如原假设H0和备择假设H1,第一类错误和第二类错误,P值

(2)delta method可用于解决非线性多元随机变量方差求解

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